A questão pede para calcular a integral definida de 2 a 3 da função racional . O conteúdo aqui é integração de frações parciais, e vamos precisar: 1) fatorar o denominador, 2) decompor em frações parciais, 3) integrar termo a termo e 4) avaliar nos limites.
Passo 2
Primeiro, a gente fatora o denominador . Observando que tem fator comum e um quadrático, temos:
Passo 3
Agora fazemos a decomposição em frações parciais: assumimos
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por e igualando coeficientes, chegamos a
Passo 5
Comparando coeficientes de , e termo independente, obtemos o sistema
Passo 6
Da última equação vem A=1. Substituindo em A+B+C=6 e 2A+3B-C=5, achamos B=2 e C=3. Logo
6x^2+5x-3x(x-1)(x+3) = 1x + 2x-1 + 3x+3
Passo 7
Agora é tranquilo integrar termo a termo:
integral 1xdx = ln|x|, integral 2x-1dx = 2ln|x-1|, integral 3x+3dx = 3ln|x+3|