Calcule a integral.
integral2^3 6 x^2+5 x-3x^3+2 x^2-3 x d x

Passo 1

A questão pede para calcular a integral definida de 2 a 3 da função racional 6x^2+5x-3x^3+2x^2-3x. O conteúdo aqui é integração de frações parciais, e vamos precisar: 1) fatorar o denominador, 2) decompor em frações parciais, 3) integrar termo a termo e 4) avaliar nos limites.

Passo 2

Primeiro, a gente fatora o denominador x^3+2x^2-3x. Observando que tem fator x comum e um quadrático, temos:
x^3+2x^2-3x = x(x^2+2x-3) = x(x-1)(x+3)

Passo 3

Agora fazemos a decomposição em frações parciais: assumimos
6x^2+5x-3x(x-1)(x+3) = Ax + Bx-1 + Cx+3

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por x(x-1)(x+3) e igualando coeficientes, chegamos a
6x^2+5x-3 = A(x-1)(x+3) + Bx(x+3) + Cx(x-1)

Passo 5

Comparando coeficientes de x^2, x e termo independente, obtemos o sistema
A+B+C = 6, 2A+3B - C = 5, -3A = -3

Passo 6

Da última equação vem A=1. Substituindo em A+B+C=6 e 2A+3B-C=5, achamos B=2 e C=3. Logo
6x^2+5x-3x(x-1)(x+3) = 1x + 2x-1 + 3x+3

Passo 7

Agora é tranquilo integrar termo a termo:
integral 1xdx = ln|x|, integral 2x-1dx = 2ln|x-1|, integral 3x+3dx = 3ln|x+3|
Então uma primitiva é
F(x) = ln|x| + 2ln|x-1| + 3ln|x+3|

Passo 8

Falta avaliar de 2 a 3:
F(3) = ln3 + 2ln2 + 3ln6,
F(2) = ln2 + 2ln1 + 3ln5 = ln2 + 3ln5

Passo 9

Subtraindo, o valor da integral é
(F(3)-F(2)) = (ln3 - ln2) + 2ln2 + 3(ln6 - ln5) = ln6 +3ln65 = 4ln6 - 3ln5

Resposta

4\ln6 - 3\ln5

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