Mostre que
satisfaz a equação diferencial
Passo 1
A questão dá a função z(x,y)=
e pede para verificar que ela satisfaz a equação diferencial de primeira ordem
. Vamos usar conceitos de derivadas parciais e o teorema de Euler para funções homogêneas.
Passo 2
Uma forma elegante é notar que z(x,y) é homogênea de grau 1, pois para todo k>0 vale
. Pelo teorema de Euler, uma função homogênea de grau n satisfaz
. Aqui n=1, logo
, que é o que queríamos.
Passo 3
Para deixar mais explícito, vamos calcular diretamente as derivadas parciais de z. Usamos a regra do quociente: o numerador é N=xy^{2} e o denominador D=x{2}+y{2}.
Passo 4
Calculamos
:
Passo 5
Calculamos
:
Passo 6
Agora montamos o lado esquerdo da equação diferencial:
No numerador, vamos agrupar termos:
Assim,
Resposta
x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=z, logo a equação diferencial é satisfeita por z=\frac{x y{2}}{x{2}+y^{2}}.