Mostre que z=x y^2x^2+y^2 satisfaz a equação diferencial
x partial zpartial x+y partial zpartial y=z

Passo 1

A questão dá a função z(x,y)= x y^2x^2+y^2 e pede para verificar que ela satisfaz a equação diferencial de primeira ordem x partial zpartial x+y partial zpartial y=z. Vamos usar conceitos de derivadas parciais e o teorema de Euler para funções homogêneas.

Passo 2

Uma forma elegante é notar que z(x,y) é homogênea de grau 1, pois para todo k>0 vale z(kx,ky)=(kx)(ky)^2(kx)^2+(ky)^2=kxy^2x^2+y^2=k,z(x,y). Pelo teorema de Euler, uma função homogênea de grau n satisfaz x fx+y fy=n f. Aqui n=1, logo x zx+y zy=1cdot z=z, que é o que queríamos.

Passo 3

Para deixar mais explícito, vamos calcular diretamente as derivadas parciais de z. Usamos a regra do quociente: o numerador é N=xy^{2} e o denominador D=x{2}+y{2}.

Passo 4

Calculamos partial zpartial x:
zx=Nx,D - N,DxD^2=(1cdot y^2)(x^2+y^2) - x y^2(2x)(x^2+y^2)^2=y^2(x^2+y^2-2x^2)(x^2+y^2)^2=y^2(y^2-x^2)(x^2+y^2)^2

Passo 5

Calculamos partial zpartial y:
zy=Ny,D - N,DyD^2=(xcdot 2y)(x^2+y^2) - x y^2(2y)(x^2+y^2)^2=2xy(x^2+y^2) -2x y^3(x^2+y^2)^2=2x^3y(x^2+y^2)^2

Passo 6

Agora montamos o lado esquerdo da equação diferencial:
x zx+y zy=xy^2(y^2-x^2)(x^2+y^2)^2+y2x^3y(x^2+y^2)^2=x y^2(y^2-x^2)+2x^3y^2(x^2+y^2)^2
No numerador, vamos agrupar termos:
x y^2(y^2-x^2)+2x^3y^2=x y^4-x^3y^2+2x^3y^2=x y^4+x^3y^2=x y^2(y^2+x^2)
Assim,
x zx+y zy=x y^2(y^2+x^2)(x^2+y^2)^2=x y^2x^2+y^2=z

Resposta

x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=z, logo a equação diferencial é satisfeita por z=\frac{x y{2}}{x{2}+y^{2}}.

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