Calcule a integral.
integral x^2+1x^2-x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x^2+1x^2-x,dx. O conteúdo aqui é integração de função racional, que envolve duas ideias principais: divisão de polinômios (quando o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador) e frações parciais (para integrar termos do tipo 1/(x-a)).

Passo 2

Primeiro, como o grau do numerador (2) é igual ao grau do denominador (2), fazemos a divisão de polinômios para simplificar a fração. Dividindo x^2+1 por x^2-x obtemos
x^2+1x^2-x = 1 + x+1x^2-x = 1 + x+1x(x-1)
Agora aplicamos frações parciais em x+1x(x-1). Suponha
x+1x(x-1) = Ax + Bx-1

Passo 3

Então
x+1 = A(x-1) + Bx = (A+B)x - A

Passo 4

Comparando coeficientes de x e termo constante, temos
A + B = 1, -A = 1

Passo 5

Daí A = -1 e B = 2. Logo
x+1x(x-1) = -1x + 2x-1

Passo 6

Substituindo de volta na integral e integrando termo a termo:
integral x^2+1x^2-x,dx = integral 1,dx + integrall(-1x + 2x-1r)dx

Passo 7

Usamos que integral1,dx = x, integral1x,dx = ln|x| e integral1x-1,dx = ln|x-1|. Assim:
integral x^2+1x^2-x,dx = x - ln|x| + 2ln|x-1| + C

Resposta

x - ln|x| + 2ln|x-1| + C

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