Ache uma equação em x e y que tenha o mesmo gráfico da equação polar e use-a para auxiliar o traçado no plano- xy.
r^2 sen 2 theta=4

Passo 1

O enunciado pede converter a equação polar r^2sin2theta=4 para coordenadas cartesianas usando x=rcostheta e y=rsintheta, e depois traçar o gráfico no plano xy.

Passo 2

Usamos as relações
x=rcostheta, y=rsintheta e sin2theta=2sinthetacostheta. Também vale r^2=x^2+y^2, mas aqui vamos aproveitar diretamente rsintheta=y e rcostheta=x.
Substituindo na equação polar:
r^2sin2theta = 2(rsintheta)(rcostheta) = 2xy
Logo a equação torna-se
2xy = 4 Longrightarrow xy = 2

Passo 3

A equação cartesiana obtida é xy=2, que é uma hipérbole retangular com ramos nos quadrantes I e III. Para traçar, basta esboçar y=2/x, lembrando que as assimptotas são os eixos coordenados.
No traçado, escolhemos alguns valores de x>0 para obter y>0 e alguns x<0 para obter y<0, desenhando o contorno suave da hipérbole.

Passo 4

Pronto: o gráfico resultante coincide com a curva polar original.

Resposta

xy=2

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