Calcule a integral.
integral3^6 1x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral definida de $ \frac{1}{x} $ de 3 até 6. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente das integrais de funções básicas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra de integração para $ \frac{1}{x} $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a antiderivada (ou primitiva) de $ \frac{1}{x} $. A antiderivada de $ \frac{1}{x} $ é $ \ln|x| $, onde $ \ln $ é o logaritmo natural. Isso porque a derivada de $ \ln|x| $ é justamente $ \frac{1}{x} $.

Passo 3

Agora que sabemos a antiderivada, podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida. O teorema diz que se $ F(x) $ é uma antiderivada de $ f(x) $, então:
F(x)

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso, temos:
integral3^6 1x , dx = ln|x| |3^6
Isso significa que vamos calcular $ \ln|6| $ e depois subtrair $ \ln|3| $.

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
  • $ \ln|6| $ é simplesmente $ \ln 6 $, já que 6 é positivo.
  • $ \ln|3| $ é $ \ln 3 $, também positivo.
Então:
ln|6|

Passo 6

Utilizando propriedades dos logaritmos, sabemos que $ \ln a - \ln b = \ln\left(\frac{a}{b}\right) $. Então:
ln a - ln b = ln(ab)

Resposta

A integral de $ \frac{1}{x} $ de 3 até 6 é $ \ln 2 $.

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