Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral definida de $ \frac{1}{x} $ de 3 até 6. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente das integrais de funções básicas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra de integração para $ \frac{1}{x} $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a antiderivada (ou primitiva) de $ \frac{1}{x} $. A antiderivada de $ \frac{1}{x} $ é $ \ln|x| $, onde $ \ln $ é o logaritmo natural. Isso porque a derivada de $ \ln|x| $ é justamente $ \frac{1}{x} $.
Passo 3
Agora que sabemos a antiderivada, podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida. O teorema diz que se $ F(x) $ é uma antiderivada de $ f(x) $, então:
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso, temos:
Isso significa que vamos calcular $ \ln|6| $ e depois subtrair $ \ln|3| $.
Passo 5
Vamos calcular cada parte:
- $ \ln|6| $ é simplesmente $ \ln 6 $, já que 6 é positivo.
- $ \ln|3| $ é $ \ln 3 $, também positivo.
Então:
Passo 6
Utilizando propriedades dos logaritmos, sabemos que $ \ln a - \ln b = \ln\left(\frac{a}{b}\right) $. Então:
Resposta
A integral de $ \frac{1}{x} $ de 3 até 6 é $ \ln 2 $.