Verifique, por derivação, que a fórmula está correta.
é uma constante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar, usando derivação, se a fórmula da integral está correta. A fórmula é:
Aqui,
é uma constante. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar funções hiperbólicas, especialmente o seno hiperbólico (
) e o cosseno hiperbólico (
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para verificar se a integral está correta usando derivação, a gente faz o seguinte: derivar o resultado proposto e ver se a gente retorna para a função que estava integrando. Se der certo, a integral está correta!
Passo 3
Vamos derivar o lado direito da equação, que é
. Lembre-se que a constante
tem derivada zero, então a gente só precisa derivar
.
Sabemos que:
Isso é uma propriedade básica das funções hiperbólicas.
Passo 4
Então, ao derivar
, a gente tem:
Perfeito! O resultado da derivada é exatamente
, que é a função que estava dentro da integral original.
Resposta
Como a derivada de
é igual a
, a fórmula da integral está correta: