Calcule a integral.
Passo 1
A integral dada é
. Vamos usar decomposição em frações parciais, que é útil para integrar funções racionais: a ideia é escrever a fração como soma de termos simples.
Passo 2
Escrevemos
Para encontrar
e
, multiplicamos tudo por
e igualamos:
Escolhendo valores convenientes: para
dá
então
; para
dá
então
. Assim, a decomposição fica:
Passo 3
Agora integramos cada termo separadamente:
Podemos combinar os logaritmos:
Passo 4
Para a integral definida, avaliamos de 3 a 7. Definindo
Temos