Calcule a integral.
integral3^7 1(x+1)(x-2) d x

Passo 1

A integral dada é integral3^7 1(x+1)(x-2) dx. Vamos usar decomposição em frações parciais, que é útil para integrar funções racionais: a ideia é escrever a fração como soma de termos simples.

Passo 2

Escrevemos
1(x+1)(x-2) = Ax+1 + Bx-2
Para encontrar A e B, multiplicamos tudo por (x+1)(x-2) e igualamos:
1 = A(x-2) + B(x+1)
Escolhendo valores convenientes: para x=2 1=3B então B=13; para x=-1 1=-3A então A=-13. Assim, a decomposição fica:
1(x+1)(x-2) = -tfrac131x+1 + tfrac131x-2

Passo 3

Agora integramos cada termo separadamente:
integral -tfrac13dxx+1 + tfrac13dxx-2 = -tfrac13ln|x+1| + tfrac13ln|x-2| + C
Podemos combinar os logaritmos:
13ln|x-2x+1| + C

Passo 4

Para a integral definida, avaliamos de 3 a 7. Definindo
F(x) = 13ln|x-2x+1|
Temos
F(7) - F(3) = tfrac13ln58 - tfrac13ln14 = tfrac13 ln(5/81/4) = tfrac13 ln(52)

Resposta

13ln(52)

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