Calcule a integral integralC F cdot d r, onde C é a curva dada pela função vetorial r(t).
(b) F(x, y, z)=sin x i+cos y j+x z k, r(t)=t^2 i+t^3 j+t^2 k, 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC Fcdot d r com o campo F(x,y,z)=sin x,vec i+cos y,vec j+xz,vec k e a curva r(t)=t^2,vec i+t^3,vec j+t^2,vec k, para 0<= t<=1. O conteúdo é integral de linha de campo vetorial em forma paramétrica; vamos precisar parametrizar F ao longo de r(t), calcular r'(t), fazer o produto escalar e integrar de 0 a 1.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada vetorial r'(t), que serve para expressar d r em função de dt:
r'(t)=ddt(t^2,,t^3,,t^2)=(2t,,3t^2,,2t)

Passo 3

Agora substituímos x=t^2, y=t^3 e z=t^2 em F(x,y,z) para obter F(r(t)):
F(r(t))=l(sin(t^2),,cos(t^3),,(t^2)(t^2)r)=(sin(t^2),,cos(t^3),,t^4)

Passo 4

Fazendo o produto escalar F(r(t))cdot r'(t):
F(r(t))cdot r'(t)=2tsin(t^2)+3t^2cos(t^3)+2tcdot t^4=2tsin(t^2)+3t^2cos(t^3)+2t^5

Passo 5

Portanto, a integral fica
integral0^1l(2tsin(t^2)+3t^2cos(t^3)+2t^5r),dt

Passo 6

Cada termo se integra por substituição natural: para u=t^2 e v=t^3. Isso dá
  • integral0^1 2tsin(t^2),dt=integral0^1sin u,du=1-cos1,
  • integral0^1 3t^2cos(t^3),dt=integral0^1cos v,dv=sin1,
  • integral0^1 2t^5,dt=26=tfrac13

Passo 7

Somando os resultados, obtemos o valor final da integral.

Resposta

dfrac43-cos1+sin1

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