Calcule a integral integralC F cdot d r, onde
F=(3 x+y) i+y^2 j
e C é o segmento da reta indo de (0,-1) ate (2,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC Fcdot dr onde F(x,y)=(3x+y),i+y^2,j e C é o segmento de reta de (0,-1) até (2,0). O conteúdo é integral de linha de campo vetorial e vamos precisar usar a parametrização da curva e a definição integralC Fcdot dr=integrala^b F(r(t))cdotr'(t),dt.

Passo 2

Parametrizamos o segmento unindo (0,-1) a (2,0) por r(t)=(2t,-1+t), com t variando de 0 a 1. Então r'(t)=(2,1) e o diferencial de arco é dr=(2,1),dt.

Passo 3

Substituímos na field: x=2t e y=-1+t. Assim F(r(t))=((3cdot2t)+( -1+t),,( -1+t)^2)=(7t-1,,(t-1)^2). O produto escalar é
F(r(t))cdotr'(t)=(7t-1)cdot2+(t-1)^2cdot1=14t-2+(t-1)^2

Passo 4

Expandindo o integrando:
14t-2+(t-1)^2=14t-2+(t^2-2t+1)=t^2+12t-1
Então a integral fica
integral0^1 (t^2+12t-1),dt

Passo 5

Calculamos a integral:
integral0^1 t^2,dt=13, integral0^1 12t,dt=6, integral0^1 (-1),dt=-1
Somando, obtemos tfrac13+6-1=5+tfrac13=tfrac163

Resposta

163

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