Seja F o campo vetorial dado por
F=(y^2+sen x^2, x^2)
Calcule integralC F cdot d r usando Teorema de Green, onde C=C1 cup C2, C1 é o segmento da reta indo de (-1,0) ate (1,0) e C2 é o arco do circulo x^2+y^2=1, y >= 0 indo de (1,0) a (-1,0)

Passo 1

O enunciado pede para calcular ointCFcdot dr para o campo F=(y^2+sin x^2,,x^2) sobre uma curva fechada C composta por um segmento de reta C1 e um arco de círculo C2. Vamos usar o Teorema de Green, que transforma um integral de linha fechado num integral dupla sobre a região D limitada por C, com integrando partial Qpartial x-partial Ppartial y.

Passo 2

Identificamos P(x,y)=y^2+sin(x^2) e Q(x,y)=x^2. Calculando as derivadas parciais: partial Qpartial x=2x e partial Ppartial y=2y.

Passo 3

Pelo Teorema de Green:
ointC Fcdot dr = integral duplaD l(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA = integral duplaD (2x-2y),dA,
onde D é o semicírculo x^2+y^2<=1, y>=0.

Passo 4

Separamos a integral em duas partes:
integral duplaD(2x-2y),dA = 2integral duplaD x,dA - 2integral duplaD y,dA
Pela simetria de D em relação ao eixo y, temos
integral duplaD x,dA = 0

Passo 5

Restou calcular integral duplaD y,dA. Em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta, com rin[0,1] e thetain[0,pi]:
integral duplaD y,dA = integral0^piintegral0^1 r^2sintheta,dr,dtheta = l(integral0^1 r^2,drr)l(integral0^pisintheta,dthetar) = 13cdot2 = 23

Passo 6

Substituindo de volta:
ointCFcdot dr = 2cdot0 - 2cdot23 = -43

Resposta

(-\frac{4}{3})

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