Seja F o campo vetorial dado por
Calcule
usando Teorema de Green, onde
é o segmento da reta indo de
ate
e
é o arco do circulo
indo de
a
Passo 1
O enunciado pede para calcular
para o campo
sobre uma curva fechada
composta por um segmento de reta
e um arco de círculo
. Vamos usar o Teorema de Green, que transforma um integral de linha fechado num integral dupla sobre a região
limitada por
, com integrando
.
Passo 2
Identificamos
e
. Calculando as derivadas parciais:
e
.
Passo 3
Pelo Teorema de Green:
onde
é o semicírculo
,
.
Passo 4
Separamos a integral em duas partes:
Pela simetria de
em relação ao eixo
, temos
Passo 5
Restou calcular
. Em coordenadas polares
,
, com
e
:
Passo 6
Substituindo de volta:
Resposta
(-\frac{4}{3})