Seja F o campo vetorial definida por
Calcule a integral
, onde
é uma curva plana dada por
percorrida de
ate
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial $ \mathbf{F} $ ao longo de uma curva $ C $. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especialmente campos conservativos e integrais de linha. Para resolver, vamos precisar verificar se o campo $ \mathbf{F} $ é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial que facilite o cálculo da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial $ \mathbf{F} = (F_x, F_y) $ é conservativo se existe uma função escalar $ \phi $ tal que $ \mathbf{F} = \nabla \phi $. Isso significa que a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, facilitando nosso cálculo.
Para verificar se $ \mathbf{F} $ é conservativo, precisamos conferir se as derivadas parciais cruzadas são iguais, ou seja, se $ \frac{\partial F_y}{\partial x} = \frac{\partial F_x}{\partial y} $.
Passo 3
Vamos calcular $ \frac{\partial F_x}{\partial y} $ e $ \frac{\partial F_y}{\partial x} $:
Dado:
Calculando $ \frac{\partial F_x}{\partial y} $:
Calculando $ \frac{\partial F_y}{\partial x} $:
Como $ \frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial F_y}{\partial x} $, o campo $ \mathbf{F} $ é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que $ \mathbf{F} $ é conservativo, vamos encontrar a função potencial $ \phi $ tal que $ \nabla \phi = \mathbf{F} $.
Começamos integrando $ F_x $ em relação a $ x $:
Para o primeiro termo, fazemos a substituição $ u = xy $, então $ du = y dx $:
Para o segundo termo:
Então, temos:
Onde $ g(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $. Agora, derivamos $ \phi $ em relação a $ y $ e igualamos a $ F_y $:
Comparando os termos, vemos que $ g’(y) = 0 $, ou seja, $ g(y) $ é uma constante. Podemos considerar essa constante como zero.
Portanto, a função potencial é:
Passo 5
Agora que temos a função potencial $ \phi $, podemos calcular a integral de linha simplesmente avaliando $ \phi $ nos pontos final e inicial da curva $ C $.
A curva $ C $ é dada por:
com $ t $ de $ \pi $ a $ 0 $.
Vamos encontrar as coordenadas dos pontos inicial e final:
- Quando $ t = \pi $:
Então, o ponto inicial é $ (\pi e^{-1}, 1) $.
- Quando $ t = 0 $:
Então, o ponto final é $ (0, 1) $.
Agora, calculamos $ \phi $ nesses pontos:
Para $ (\pi e^{-1}, 1) $:
Para $ (0, 1) $:
Passo 6
A integral de linha é a diferença dos valores de $ \phi $ nos pontos final e inicial:
Resposta
A integral é igual a $ e - \sin(\pi e^{-1}) - e \cos(\pi e^{-1}) $.