Seja F o campo vetorial definida por
F=(y cos (x y)-e^y sen x, e^y cos x+x cos (x y))
Calcule a integral integralC F cdot d r, onde C é uma curva plana dada por
r=(t e^cos t, e^sen t)
percorrida de t=pi ate t=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial $ \mathbf{F} $ ao longo de uma curva $ C $. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especialmente campos conservativos e integrais de linha. Para resolver, vamos precisar verificar se o campo $ \mathbf{F} $ é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial que facilite o cálculo da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial $ \mathbf{F} = (F_x, F_y) $ é conservativo se existe uma função escalar $ \phi $ tal que $ \mathbf{F} = \nabla \phi $. Isso significa que a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, facilitando nosso cálculo.
Para verificar se $ \mathbf{F} $ é conservativo, precisamos conferir se as derivadas parciais cruzadas são iguais, ou seja, se $ \frac{\partial F_y}{\partial x} = \frac{\partial F_x}{\partial y} $.

Passo 3

Vamos calcular $ \frac{\partial F_x}{\partial y} $ e $ \frac{\partial F_y}{\partial x} $:
Dado:
partial Fxpartial y
partial Fypartial x
Calculando $ \frac{\partial F_x}{\partial y} $:
Fx = y cos(xy) - e^y sin x
Calculando $ \frac{\partial F_y}{\partial x} $:
Fy = e^y cos x + x cos(xy)
Como $ \frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial F_y}{\partial x} $, o campo $ \mathbf{F} $ é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que $ \mathbf{F} $ é conservativo, vamos encontrar a função potencial $ \phi $ tal que $ \nabla \phi = \mathbf{F} $.
Começamos integrando $ F_x $ em relação a $ x $:
F
phi
Para o primeiro termo, fazemos a substituição $ u = xy $, então $ du = y dx $:
nabla phi = F
Para o segundo termo:
Fx
Então, temos:
x
Onde $ g(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $. Agora, derivamos $ \phi $ em relação a $ y $ e igualamos a $ F_y $:
phi(x, y) = integral Fx , dx = integral ( y cos(xy) - e^y sin x ) dx
Comparando os termos, vemos que $ g’(y) = 0 $, ou seja, $ g(y) $ é uma constante. Podemos considerar essa constante como zero.
Portanto, a função potencial é:
= y integral cos(xy) dx - e^y integral sin x , dx

Passo 5

Agora que temos a função potencial $ \phi $, podemos calcular a integral de linha simplesmente avaliando $ \phi $ nos pontos final e inicial da curva $ C $.
A curva $ C $ é dada por:
phi
com $ t $ de $ \pi $ a $ 0 $.
Vamos encontrar as coordenadas dos pontos inicial e final:
  • Quando $ t = \pi $:
phi
C
Então, o ponto inicial é $ (\pi e^{-1}, 1) $.
  • Quando $ t = 0 $:
C
r(t) = ( t e^cos t, e^sin t )
Então, o ponto final é $ (0, 1) $.
Agora, calculamos $ \phi $ nesses pontos:
Para $ (\pi e^{-1}, 1) $:
t
Para $ (0, 1) $:
pi

Passo 6

A integral de linha é a diferença dos valores de $ \phi $ nos pontos final e inicial:
phi
integralC F cdot dr = phi(0, 1) - phi(pi e^-1, 1) = e - ( sin(pi e^-1) + e cos(pi e^-1) )

Resposta

A integral é igual a $ e - \sin(\pi e^{-1}) - e \cos(\pi e^{-1}) $.

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