Use coordenadas polares para achar o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cone z=r e o cilindro r=4 sin theta. Faça um esboço do volume e da região R. (2,5 pontos)

Passo 1

Resumo: queremos o volume do sólido no primeiro octante (x,y,z≥0) limitado pelo cone z = r e pelo cilindro r = 4 sin θ. O conteúdo é mudança para coordenadas cilíndricas e integração tripla.

Passo 2

Identificação da região de projeção R: no plano xy temos 0 ≤ θ ≤ π/2 (primeiro quadrante) e 0 ≤ r ≤ 4 sin θ (dado pelo cilindro). Em polares, r = 4 sin θ corresponde à circunferência x² + (y–2)² = 4, mas trabalhamos direto em (r,θ).

Passo 3

Configuração do integral em coordenadas cilíndricas: o elemento de volume é dV = r
dz
dr
dθ e z varia de 0 a r. Logo
V = integraltheta=0^pi/2 integralr=0^4sintheta integralz=0^r r ,dz,dr,dtheta

Passo 4

Cálculo passo a passo:
  • Integrando em z: integral0^rr,dz = r^2.
  • Fica V = integral0^pi/2integral0^4sintheta r^2,dr,dtheta
  • Em r: integral0^4sintheta r^2,dr = (4sintheta)^33 = 643sin^3theta
  • Então V = 643 integral0^pi/2 sin^3theta,dtheta

Passo 5

Avaliação de integral0^pi/2sin^3theta,dtheta: pela fórmula de redução integral0^pi/2sin^ntheta,dtheta = n-1nintegral0^pi/2sin^n-2theta,dtheta, com n=3 obtemos 2/3. Portanto
V = 643 cdot 23 = 1289

Resposta

1289

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