Use coordenadas polares para achar o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cone
e o cilindro
. Faça um esboço do volume e da região
. (2,5 pontos)
Passo 1
Resumo: queremos o volume do sólido no primeiro octante (x,y,z≥0) limitado pelo cone z = r e pelo cilindro r = 4 sin θ. O conteúdo é mudança para coordenadas cilíndricas e integração tripla.
Passo 2
Identificação da região de projeção R: no plano xy temos 0 ≤ θ ≤ π/2 (primeiro quadrante) e 0 ≤ r ≤ 4 sin θ (dado pelo cilindro). Em polares, r = 4 sin θ corresponde à circunferência x² + (y–2)² = 4, mas trabalhamos direto em (r,θ).
Passo 3
Configuração do integral em coordenadas cilíndricas: o elemento de volume é dV = r
dz
dr
dθ e z varia de 0 a r. Logo
dz
dr
dθ e z varia de 0 a r. Logo
Passo 4
Cálculo passo a passo:
- Integrando em z:
. - Fica
- Em r:
- Então
Passo 5
Avaliação de
: pela fórmula de redução
, com n=3 obtemos 2/3. Portanto