Calcule a integral
onde
é o traço da curva parametrizada
Passo 1
Vamos calcular a integral
, onde
é a curva dada pela parametrização
para
. Esse exercício envolve o cálculo de integrais de linha no contexto do cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a curva, calcular a derivada da parametrização e aplicar a fórmula da integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parametrização da curva
. A curva é dada por
, onde
varia de
a
. Isso significa que à medida que
aumenta dentro desse intervalo, os pontos da curva são gerados pelas coordenadas
.
Passo 3
Para calcular a integral de linha
, usamos a fórmula:
Aqui,
,
, e
,
.
Passo 4
Vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
:
A norma de
é:
Passo 5
Agora, substituímos
na função
:
Portanto, a integral fica:
Passo 6
A integral resultante
não possui uma antiderivada que possa ser expressa de forma simples em termos de funções elementares. Portanto, a solução final fica na forma dessa integral definida.
Resposta
A integral
é igual a: