Calcule a integral
integralC sin (2 y) d s
onde C é o traço da curva parametrizada
alpha(t)=(cos (t), t), 0 <= t <= pi4

Passo 1

Vamos calcular a integral integralC sin (2 y) , ds, onde C é a curva dada pela parametrização alpha(t) = (cos(t), t) para 0 <= t <= pi4. Esse exercício envolve o cálculo de integrais de linha no contexto do cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a curva, calcular a derivada da parametrização e aplicar a fórmula da integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parametrização da curva C. A curva é dada por alpha(t) = (cos(t), t), onde t varia de 0 a pi4. Isso significa que à medida que t aumenta dentro desse intervalo, os pontos da curva são gerados pelas coordenadas (cos(t), t).

Passo 3

Para calcular a integral de linha integralC sin (2 y) , ds, usamos a fórmula:
integralC f(x, y) , ds = integrala^b f(alpha(t)) , |alpha'(t)| , dt
Aqui, f(x, y) = sin(2y), alpha(t) = (cos(t), t), e a = 0, b = pi4.

Passo 4

Vamos calcular alpha'(t), que é a derivada de alpha(t) em relação a t:
alpha'(t) = ( ddt cos(t), ddt t ) = (-sin(t), 1)
A norma de alpha'(t) é:
|alpha'(t)| = raiz(-sin(t))^2 + (1)^2 = raizsin^2(t) + 1

Passo 5

Agora, substituímos alpha(t) na função f(x, y):
f(alpha(t)) = sin(2y) = sin(2t)
Portanto, a integral fica:
integral0^pi4 sin(2t) cdot raizsin^2(t) + 1 , dt

Passo 6

A integral resultante integral0^pi4 sin(2t) cdot raizsin^2(t) + 1 , dt não possui uma antiderivada que possa ser expressa de forma simples em termos de funções elementares. Portanto, a solução final fica na forma dessa integral definida.

Resposta

A integral integralC sin (2 y) , ds é igual a:
integral0^pi4 sin(2t) cdot raizsin^2(t) + 1 , dt

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