Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto
Passo 1
O enunciado define a função de duas variáveis
f(x,y)= e pede para verificar a continuidade em (0,0). Precisamos usar o conceito de limite em várias direções e compará-lo com f(0,0)=0.
f(x,y)=
Passo 2
Uma função de duas variáveis é contínua em (0,0) se e somente se
Se o limite depender do caminho, ele não existe.
Passo 3
Primeiro, vamos investigar o caminho y=0. Substituindo y=0 em f(x,y) para (x,0)≠(0,0) temos
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Passo 4
Agora, vamos usar uma reta genérica y=kx (k constante). Substituindo y=kx em f(x,y) para x≠0,
Isso mostra que
ou seja, depende de k.
Passo 5
Como o valor do limite varia com o parâmetro k (por exemplo, dá 0 para k=0 e 1/3 para k=1), o limite de f(x,y) quando (x,y)→(0,0) não existe. Portanto, f não é contínua em (0,0).
Resposta
A função não é contínua em (0,0), pois o limite não existe (depende do caminho).