Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto (0,0)
f(x, y)= x yx^2+x y+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função de duas variáveis
f(x,y)= xyx^2+xy+y^2&se (x,y)neq(0,0)0&se (x,y)=(0,0) e pede para verificar a continuidade em (0,0). Precisamos usar o conceito de limite em várias direções e compará-lo com f(0,0)=0.

Passo 2

Uma função de duas variáveis é contínua em (0,0) se e somente se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0
Se o limite depender do caminho, ele não existe.

Passo 3

Primeiro, vamos investigar o caminho y=0. Substituindo y=0 em f(x,y) para (x,0)≠(0,0) temos
f(x,0)=xcdot0x^2+xcdot0+0^2=0
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lim(x,y)to(0,0)atop y=0f(x,y)=0

Passo 4

Agora, vamos usar uma reta genérica y=kx (k constante). Substituindo y=kx em f(x,y) para x≠0,
f(x,kx)=xcdot kxx^2 + xcdot kx + (kx)^2 =kx^2x^2(1+k+k^2) =k1+k+k^2
Isso mostra que
lim(x,y)to(0,0)atop y=kxf(x,y)=k1+k+k^2,
ou seja, depende de k.

Passo 5

Como o valor do limite varia com o parâmetro k (por exemplo, dá 0 para k=0 e 1/3 para k=1), o limite de f(x,y) quando (x,y)→(0,0) não existe. Portanto, f não é contínua em (0,0).

Resposta

A função não é contínua em (0,0), pois o limite não existe (depende do caminho).

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