Use o teorema do Sanduíche para provar os seguintes limites
lim (x, y) (0,0) e^-y(x^3+y^3)x^2+y^2 0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que lim(x,y)to(0,0) e^-y(x^3+y^3)x^2+y^2=0. O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos usar o Teorema do Sanduíche (ou Aperto) junto com estimativas de módulo e desigualdades para provar que a função tende a zero.

Passo 2

O Teorema do Sanduíche diz que se encontramos duas funções g(x,y) e h(x,y) tais que g(x,y)<= f(x,y)<= h(x,y) numa vizinhança de (0,0) e lim g=lim h=L, então lim f=L. Aqui vamos usar -M(x,y)<= f(x,y)<= M(x,y) e mostrar que M(x,y)to0.

Passo 3

Primeiro, tomamos valor absoluto de f(x,y)=e^-y(x^3+y^3)x^2+y^2. Como para y perto de 0 temos |e^-y|=e^-y<= e, segue que
|f(x,y)|<= ecdot|x^3+y^3|x^2+y^2

Passo 4

Para a fração usamos a desigualdade |x^3+y^3|<=|x|^3+|y|^3 e ainda
|x|^3x^2+y^2<=|x|^3x^2=|x|,
|y|^3x^2+y^2<=|y|
Somando, obtemos
|x^3+y^3|x^2+y^2<=|x|+|y|

Passo 5

Combinando tudo, fica
|f(x,y)|<= e,(|x|+|y|)
Como |x|+|y|to0 quando (x,y)to(0,0), a função que aparece no lado direito tende a zero. Pelo Teorema do Sanduíche, concluímos que f(x,y)to0.

Resposta

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