Identifique e esboce as superfícies quádricas
y=2 x^2+z^2

Passo 1

O enunciado pede para a gente identificar e esboçar a superfície quádrupla dada por y=2x^2+z^2. O conteúdo envolvido é o estudo de superfícies quádricas e a gente vai usar a forma padrão dessas superfícies e analisar cortes para descobrir que tipo de quadrica é.

Passo 2

Para ver de que tipo de superfície se trata, observe que só aparecem termos quadráticos em x e z e o termo em y é de primeira ordem. Isso sugere uma parábola “esticada” em duas direções, ou seja, um paraboloide. A equação já está quase em forma canônica:
Vamos estudar cortes importantes:
– Corte por z=0:
y=2x^2+0^2
que é uma parábola em x!y abrindo para y>0, mais “fechada” por causa do coeficiente 2.

Passo 3

– Corte por x=0:
y=2,0^2+z^2 = z^2
que é outra parábola em z!y, agora com mesma “abertura” de y=z^2.

Passo 4

– Corte por y=c>0:
2x^2+z^2=c
que é uma elipse de semieixos a=raizc/2 em x e b=raizc em z. Para c=0 vira só o ponto na origem.

Passo 5

Esses cortes mostram que a superfície é um paraboloide elíptico, já que as seções horizontais ( y= constante) são elipses e as verticais são parábolas.

Passo 6

No esboço, a gente desenha o eixo y vertical, e em volta dele um “bocal” que se abre conforme y cresce, com elipses cada vez maiores. Note que a parábola em x é mais “estreita” que a de z porque o coeficiente de x^2 é 2.

Resposta

A superfície é um paraboloide elíptico que se abre no sentido positivo do eixo y. As curvas de nível y=c são elipses 2x^2+z^2=c, e os cortes verticais mostram parábolas em x!y e z!y. No esboço, representa-se o eixo y vertical e um “bocal” elíptico crescendo para y>0.

Exercícios relacionados