Identifique e esboce as superfícies quádricas
Passo 1
O enunciado pede para a gente identificar e esboçar a superfície quádrupla dada por
. O conteúdo envolvido é o estudo de superfícies quádricas e a gente vai usar a forma padrão dessas superfícies e analisar cortes para descobrir que tipo de quadrica é.
Passo 2
Para ver de que tipo de superfície se trata, observe que só aparecem termos quadráticos em
e
e o termo em
é de primeira ordem. Isso sugere uma parábola “esticada” em duas direções, ou seja, um paraboloide. A equação já está quase em forma canônica:
Vamos estudar cortes importantes:
– Corte por :
Vamos estudar cortes importantes:
– Corte por
que é uma parábola em
Passo 3
– Corte por
:
que é outra parábola em
Passo 4
– Corte por
:
que é uma elipse de semieixos
Passo 5
Esses cortes mostram que a superfície é um paraboloide elíptico, já que as seções horizontais (
constante) são elipses e as verticais são parábolas.
Passo 6
No esboço, a gente desenha o eixo
vertical, e em volta dele um “bocal” que se abre conforme
cresce, com elipses cada vez maiores. Note que a parábola em
é mais “estreita” que a de
porque o coeficiente de
é 2.
Resposta
A superfície é um paraboloide elíptico que se abre no sentido positivo do eixo
. As curvas de nível
são elipses
, e os cortes verticais mostram parábolas em
e
. No esboço, representa-se o eixo
vertical e um “bocal” elíptico crescendo para
.