Calcule a integral de
, onde
é o quarto de círculo definido por
,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de uma função ao longo de um caminho específico, que nesse caso é um quarto de círculo. A matéria envolve cálculo integral de linha, onde usamos parametrizações para resolver integrais ao longo de curvas. Vamos precisar usar as fórmulas de parametrização de curvas e a fórmula para $ ds $, que representa um elemento de comprimento ao longo da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva $ c $. A curva é definida por:
onde $ t $ varia de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{2} $. Isso significa que estamos percorrendo um quarto de círculo com raio 4, começando no ponto $ (4, 0) $ e indo até $ (0, 4) $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar $ ds $, que representa um pequeno pedaço do comprimento da curva. A fórmula para $ ds $ em termos da parametrização é:
Vamos calcular as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $:
Agora, substituindo na fórmula de $ ds $:
Passo 4
Vamos expressar a função que está dentro da integral, $ x y^2 $, em termos de $ t $. Usando as parametrizações:
Então,
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral original:
Passo 6
Vamos resolver a integral $ \int \cos(t) \sin^2(t) , dt $. Podemos usar uma substituição simples:
Deixe $ u = \sin(t) $, então $ du = \cos(t) , dt $.
A integral fica:
Deixe $ u = \sin(t) $, então $ du = \cos(t) , dt $.
A integral fica:
Agora, avaliamos de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{2} $:
Multiplicando pelo 256:
Resposta
A integral vale $ \frac{256}{3} $.