Calcule a integral de integralc x y^2 d s, onde c é o quarto de círculo definido por x=4 cos (t), y=4 sen(t), 0 <= t <= pi2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de uma função ao longo de um caminho específico, que nesse caso é um quarto de círculo. A matéria envolve cálculo integral de linha, onde usamos parametrizações para resolver integrais ao longo de curvas. Vamos precisar usar as fórmulas de parametrização de curvas e a fórmula para $ ds $, que representa um elemento de comprimento ao longo da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva $ c $. A curva é definida por:
c
x = 4 cos(t)
onde $ t $ varia de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{2} $. Isso significa que estamos percorrendo um quarto de círculo com raio 4, começando no ponto $ (4, 0) $ e indo até $ (0, 4) $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar $ ds $, que representa um pequeno pedaço do comprimento da curva. A fórmula para $ ds $ em termos da parametrização é:
ds
Vamos calcular as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $:
ds
ds = raiz( dxdt )^2 + ( dydt )^2 , dt
Agora, substituindo na fórmula de $ ds $:
x
y

Passo 4

Vamos expressar a função que está dentro da integral, $ x y^2 $, em termos de $ t $. Usando as parametrizações:
x y^2
t
Então,
x = 4 cos(t)

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral original:
integralc x y^2 , ds = integral0^pi2 64 cos(t) sin^2(t) cdot 4 , dt = 256 integral0^pi2 cos(t) sin^2(t) , dt

Passo 6

Vamos resolver a integral $ \int \cos(t) \sin^2(t) , dt $. Podemos usar uma substituição simples:
Deixe $ u = \sin(t) $, então $ du = \cos(t) , dt $.
A integral fica:
integral cos(t) sin^2(t) , dt
Agora, avaliamos de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{2} $:
u = sin(t)
Multiplicando pelo 256:
du = cos(t) , dt

Resposta

A integral vale $ \frac{256}{3} $.

Exercícios relacionados