Usando coordenadas esféricas, calcule integral triplaQ z d V onde Q é o sólido limitado pelas superfícies x=0, y=x e x^2+y^2+z^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular um integral triplo usando coordenadas esféricas. O sólido $ Q $ é limitado pelas superfícies $ x = 0 $, $ y = x $ e pela esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $. Então, vamos precisar entender coordenadas esféricas, saber como configurar os limites de integração e aplicar a fórmula correta para integrar a função $ z $ sobre esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas esféricas. Nesse sistema, um ponto no espaço é descrito por três coordenadas: $ \rho $ (a distância do ponto à origem), $ \theta $ (o ângulo no plano $ xy $ a partir do eixo $ x $) e $ \phi $ (o ângulo a partir do eixo $ z $). As relações para converter de coordenadas cartesianas para esféricas são:
rho
theta
xy
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
x

Passo 3

Vamos identificar os limites de integração para $ \rho $, $ \phi $ e $ \theta $ que definem o sólido $ Q $. A esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $ tem raio 1, então $ \rho $ varia de 0 a 1.
Para $ \theta $, observamos as superfícies $ x = 0 $ e $ y = x $. A condição $ x = 0 $ corresponde a $ \theta = \frac{\pi}{2} $ e $ \theta = \frac{3\pi}{2} $, mas como estamos lidando com uma região limitada pela esfera, vamos considerar apenas um intervalo onde $ y \geq x $.
A condição $ y = x $ implica que $ \theta = \frac{\pi}{4} $. Portanto, $ \theta $ varia de $ \theta = \frac{\pi}{2} $ a $ \theta = \frac{\pi}{4} $.
Para $ \phi $, como estamos cobrindo toda a altura da esfera, $ \phi $ varia de 0 a $ \pi $.

Passo 4

Vamos montar o integral triplo. Queremos integrar a função $ z $, que em coordenadas esféricas é $ \rho \cos\phi $. Então, o integral fica:
z
Simplificando a expressão, temos:
rho cosphi

Passo 5

Vamos resolver o integral em $ \rho $ primeiro. Integramos $ \rho^{3} $ de 0 a 1:
rho
Então, o integral fica:
rho^3

Passo 6

Agora, vamos integrar em $ \phi $. A integral de $ \cos\phi \sin\phi $ pode ser feita por substituição:
Seja $ u = \cos\phi $, então $ du = -\sin\phi , d\phi $.
phi
Aplicando os limites de 0 a $ \pi $:
cosphi sinphi
Isso nos leva a:
u = cosphi

Resposta

O valor do integral triplo $ \iiint_{Q} z , dV $ é 0.

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