Use a mudança de variável u=x y, v=y z e w=x z para encontrar o volume da região no primeiro octante que é delimitada pelo cilíndros hiperbólicos x y=1, x y=2, y z=1, y z=3, x z=1 e x z=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo sobre volume usando mudança de variável. O problema pede para encontrar o volume de uma região no primeiro octante delimitada por cilindros hiperbólicos dados por x y=1, x y=2, y z=1, y z=3, x z=1 e x z=4. Vamos precisar usar a mudança de variável com u = x y, v = y z e w = x z, além de calcular o Jacobiano para transformar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que queremos integrar. No primeiro octante, todas as coordenadas x, y e z são positivas. Os cilindros hiperbólicos nos dão limites para u, v e w:
  • Para u = x y, os limites são de 1 a 2.
  • Para v = y z, os limites são de 1 a 3.
  • Para w = x z, os limites são de 1 a 4.

Passo 3

Agora, vamos calcular o Jacobiano da transformação. O Jacobiano ajuda a mudar as variáveis de integração de (x, y, z) para (u, v, w). Precisamos encontrar as derivadas parciais de x, y e z em relação a u, v e w.
Primeiro, expressamos x, y e z em termos de u, v e w:
u = x y v = y z w = x z
Resolvendo essas equações, encontramos:
y = ux z = vy = v xu z = wx
Igualando as duas expressões para z, temos:
v xu = wx Rightarrow x^2 = w uv Rightarrow x = raizw uv
Então:
y = ux = raizu vw z = wx = raizw vu
Agora, montamos a matriz Jacobiana:
J = partial xpartial u & partial xpartial v & partial xpartial w partial ypartial u & partial ypartial v & partial ypartial w partial zpartial u & partial zpartial v & partial zpartial w
Calculando as derivadas, encontramos que o determinante do Jacobiano é:
|J| = 12 v raizu w v

Passo 4

Com o Jacobiano calculado, agora podemos escrever a integral para o volume na nova coordenada:
V = integralu=1^2 integralv=1^3 integralw=1^4 |J| , dw , dv , du
Substituindo o valor de |J|:
V = integral1^2 integral1^3 integral1^4 12 v raizu w v , dw , dv , du

Passo 5

Vamos calcular a integral passo a passo. Simplificando a expressão dentro da integral:
12 v raizu w v = 12 v^3/2 raizu w
Integrando em relação a w:
integral1^4 12 v^3/2 raizu w , dw = 12 v^3/2 raizu integral1^4 w^-1/2 , dw = 12 v^3/2 raizu [ 2 w^1/2 ]1^4 = 1v^3/2 raizu (2 raiz4 - 2 raiz1) = 1v^3/2 raizu (4 - 2) = 2v^3/2 raizu
Agora, integrando em relação a v:
integral1^3 2v^3/2 raizu , dv = 2raizu integral1^3 v^-3/2 , dv = 2raizu [ -2 v^-1/2 ]1^3 = 2raizu ( -2 1raiz3 + 2 1raiz1 ) = 2raizu ( 2 - 2raiz3 ) = 4raizu (1 - 1raiz3 )
Por fim, integrando em relação a u:
integral1^2 4raizu (1 - 1raiz3 ) , du = 4 (1 - 1raiz3 ) integral1^2 u^-1/2 , du = 4 (1 - 1raiz3 ) [ 2 u^1/2 ]1^2 = 8 (1 - 1raiz3 ) (raiz2 - 1)

Resposta

O volume da região delimitada é 8 (1 - 1raiz3) (raiz2 - 1) unidades cúbicas.

Exercícios relacionados