Use a mudança de variável e para encontrar o volume da região no primeiro octante que é delimitada pelo cilíndros hiperbólicos , e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo sobre volume usando mudança de variável. O problema pede para encontrar o volume de uma região no primeiro octante delimitada por cilindros hiperbólicos dados por , , , , e . Vamos precisar usar a mudança de variável com , e , além de calcular o Jacobiano para transformar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que queremos integrar. No primeiro octante, todas as coordenadas , e são positivas. Os cilindros hiperbólicos nos dão limites para , e :
Para , os limites são de 1 a 2.
Para , os limites são de 1 a 3.
Para , os limites são de 1 a 4.
Passo 3
Agora, vamos calcular o Jacobiano da transformação. O Jacobiano ajuda a mudar as variáveis de integração de para . Precisamos encontrar as derivadas parciais de , e em relação a , e .
Primeiro, expressamos , e em termos de , e :
Resolvendo essas equações, encontramos:
Igualando as duas expressões para , temos:
Então:
Agora, montamos a matriz Jacobiana:
Calculando as derivadas, encontramos que o determinante do Jacobiano é:
|J| = 12 v raizu w v
Passo 4
Com o Jacobiano calculado, agora podemos escrever a integral para o volume na nova coordenada:
V = integralu=1^2 integralv=1^3 integralw=1^4 |J| , dw , dv , du
Substituindo o valor de |J|:
V = integral1^2 integral1^3 integral1^4 12 v raizu w v , dw , dv , du
Passo 5
Vamos calcular a integral passo a passo. Simplificando a expressão dentro da integral: