Calcule a integral
em que
é o segmento de reta que liga o ponto
ao ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha, que envolve funções em termos de $ x $ e $ y $. O enunciado pede para integrar a expressão
onde $ C $ é o segmento de reta que vai do ponto $ (1,0) $ até $ (0,4) $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva $ C $. Como $ C $ é uma reta que vai de $ (1,0) $ a $ (0,4) $, podemos definir um parâmetro $ t $ que varia de 0 a 1 para representar essa reta. Assim, temos:
onde $ t $ varia de 0 a 1. Isso significa que quando $ t = 0 $, estamos no ponto $ (1,0) $, e quando $ t = 1 $, chegamos no ponto $ (0,4) $.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação a $ t $:
Essas derivadas serão usadas para substituir $ dx $ e $ dy $ na integral original.
Passo 4
Substituímos $ x(t) $, $ y(t) $, $ dx $ e $ dy $ na integral:
Simplificando os termos dentro da integral:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral:
Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
Substituindo de volta na integral:
Reconhecemos que a integral é da forma:
Aplicando isso:
Sabemos que:
Resposta
A integral vale $ \frac{\pi}{2} $.