Calcule a integral
integralC(-yx^2+y^2) d x+(xx^2+y^2) d y
em que C é o segmento de reta que liga o ponto (1,0) ao ponto (0,4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha, que envolve funções em termos de $ x $ e $ y $. O enunciado pede para integrar a expressão
x
onde $ C $ é o segmento de reta que vai do ponto $ (1,0) $ até $ (0,4) $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva $ C $. Como $ C $ é uma reta que vai de $ (1,0) $ a $ (0,4) $, podemos definir um parâmetro $ t $ que varia de 0 a 1 para representar essa reta. Assim, temos:
C
C
onde $ t $ varia de 0 a 1. Isso significa que quando $ t = 0 $, estamos no ponto $ (1,0) $, e quando $ t = 1 $, chegamos no ponto $ (0,4) $.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação a $ t $:
x(t)
y(t)
Essas derivadas serão usadas para substituir $ dx $ e $ dy $ na integral original.

Passo 4

Substituímos $ x(t) $, $ y(t) $, $ dx $ e $ dy $ na integral:
x(t)
Simplificando os termos dentro da integral:
y(t)
dx
dy

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral:
integral0^1 417t^2 - 2t + 1 dt
Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
17t^2 - 2t + 1 = 17(t^2 - 217t + (117)^2) + 1 - 17289 = 17(t - 117)^2 + 1617
Substituindo de volta na integral:
= integral0^1 417(t - 117)^2 + 1617 dt = 417 integral0^1 1(t - 117)^2 + (417)^2 dt
Reconhecemos que a integral é da forma:
integral 1u^2 + a^2 du = 1a tan^-1(ua) + C
Aplicando isso:
= 417 cdot 174 [ tan^-1(17t - 14) ]0^1
= [ tan^-1(4) - tan^-1(-14) ]
= tan^-1(4) + tan^-1(14)
Sabemos que:
tan^-1(4) + tan^-1(14) = pi2

Resposta

A integral vale $ \frac{\pi}{2} $.

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