Calcule a integral de linha
integralC raiz4+z-2 y+x^2 d s
em que C é a interseção do paraboloide elíptico
z=x^24+y^2
com o plano z=2 y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de uma função escalar f(x,y,z)=√(4+z−2y+x²) ao longo da curva C, que é a interseção do paraboloide elíptico z=x²/4+y² com o plano z=2y. Vamos usar parâmetro t para descrever C e depois computar ds.

Passo 2

Igualando as duas expressões de z temos x²/4+y²=2y ⇒ x²/4+(y−1)²=1. Isso é uma elipse centrada em (0,1) no plano xy, com semi-eixos a=2 em x e b=1 em y. Parametrizamos: x(t)=2 cos t, y(t)=1+sin t, com t∈[0,2π]. Como no plano z=2y, z(t)=2(1+sin t)=2+2 sin t.

Passo 3

A função a integrar fica f(t)=√(4+z−2y+x²). Mas z−2y=0, logo f(t)=√(4+x²)=√(4+4 cos²t)=2√(1+cos²t).

Passo 4

Calculamos r′(t)=(x′,y′,z′)= (−2 sin t, cos t, 2 cos t) e portanto ds=|r′(t)| dt com |r′|=√(4 sin²t+cos²t+4 cos²t)=√(4 sin²t+5 cos²t).

Passo 5

A integral torna-se
I=∫0^2π2√1+cos²t·√4 sin²t+5 cos²t,dt =8∫0^π2√(1+cos²t)(4 sin²t+5 cos²t),dt ²²²²²²

Passo 6

Observe que (1+cos²t)(4 sin²t+5 cos²t)=(cos²t+1)(cos²t+4). Logo
I=8∫0^π/2√(cos²t+1)(cos²t+4),dt =8∫0^π/2√(2−sin²t)(5−sin²t),dt ²²²²

Passo 7

Esse integral pode ser expresso em termos de integrais elípticas, mas podemos também aproximá-lo numericamente, obtendo
Iapprox32.53

Resposta

Iapprox32.53

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