Calcule a integral de linha
em que
é a interseção do paraboloide elíptico
com o plano
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha de uma função escalar f(x,y,z)=√(4+z−2y+x²) ao longo da curva C, que é a interseção do paraboloide elíptico z=x²/4+y² com o plano z=2y. Vamos usar parâmetro t para descrever C e depois computar ds.
Passo 2
Igualando as duas expressões de z temos x²/4+y²=2y ⇒ x²/4+(y−1)²=1. Isso é uma elipse centrada em (0,1) no plano xy, com semi-eixos a=2 em x e b=1 em y. Parametrizamos: x(t)=2 cos t, y(t)=1+sin t, com t∈[0,2π]. Como no plano z=2y, z(t)=2(1+sin t)=2+2 sin t.
Passo 3
A função a integrar fica f(t)=√(4+z−2y+x²). Mas z−2y=0, logo f(t)=√(4+x²)=√(4+4 cos²t)=2√(1+cos²t).
Passo 4
Calculamos r′(t)=(x′,y′,z′)= (−2 sin t, cos t, 2 cos t) e portanto ds=|r′(t)| dt com |r′|=√(4 sin²t+cos²t+4 cos²t)=√(4 sin²t+5 cos²t).
Passo 5
A integral torna-se
Passo 6
Observe que (1+cos²t)(4 sin²t+5 cos²t)=(cos²t+1)(cos²t+4). Logo
Passo 7
Esse integral pode ser expresso em termos de integrais elípticas, mas podemos também aproximá-lo numericamente, obtendo