Se F(x)=integral1^x f(t) d t, onde f(t)=integral1^t^2 raiz1+u^2u d u, encontre F^prime prime(2).

Passo 1

Aqui a ideia é usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia para derivar duas vezes o integral definido. O conteúdo envolvido é: integral definida, derivação de integral com limite superior dependente de t, e derivada de função composta.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos
F'(x)=f(x)
e, portanto,
F''(x)=f'(x)
Logo, basta calcular f'(t) e avaliar em t=2.

Passo 3

Definindo g(u)=raiz1+u^2u, escrevemos
f(t)=integral1^t^2g(u),du
Pela regra da cadeia para derivadas de integrais com limite dependente de t,
f'(t)=g(t^2)cdotddt(t^2)=2t,g(t^2)
Substituindo g(t^2):
f'(t)=2tcdotraiz1+(t^2)^2t^2=2traiz1+t^4t^2=2raiz1+t^4t

Passo 4

Agora basta avaliar em t=2:
F''(2)=f'(2)=2raiz1+2^42=raiz17

Resposta

raiz17

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