Calcule a integral
onde a curva
é a interseç̧ão do cilindro
e do plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha:
onde a curva $ C $ é a interseção do cilindro $ y^{2} + z^{2} = 1 $ e do plano $ x + 2 y = 1 $.
Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente a parametrização de curvas e a integração de funções ao longo dessas curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a curva $ C $, que é a interseção do cilindro $ y^{2} + z^{2} = 1 $ com o plano $ x + 2 y = 1 $.
Sabemos que a equação $ y^{2} + z^{2} = 1 $ representa um cilindro circular com raio 1 ao longo do eixo $ x $. Podemos parametrizar $ y $ e $ z $ usando funções trigonométricas:
Onde $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $ para percorrer todo o círculo.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar $ x $ em termos de $ \theta $ usando a equação do plano $ x + 2 y = 1 $.
Substituindo $ y = \cos(\theta) $ na equação do plano:
Assim, temos a parametrização completa da curva $ C $:
Passo 4
A próxima etapa é encontrar a expressão para $ ds $, que representa um elemento de comprimento ao longo da curva. Para isso, calculamos a derivada do vetor posição $ \mathbf{r}(\theta) $ em relação a $ \theta $:
Então, o elemento de comprimento $ ds $ é:
Passo 5
Agora, vamos substituir todas as variáveis na integral original pela parametrização que encontramos:
Passo 6
Simplificando a expressão dentro da integral:
Primeiro, observamos que:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, a integral simplifica para:
Vamos separar a integral:
Passo 8
Calculando cada parte:
- $ \int_{0}^{2\pi} \sin(\theta) , d\theta = 0 $ (porque a integral de seno em um ciclo completo é zero).
- $ \int_{0}^{2\pi} \cos(\theta) \sin(\theta) , d\theta = 0 $ (pela mesma razão, pois é uma função ímpar sobre o intervalo simétrico).
Passo 9
Portanto, a integral total é:
Resposta
A integral vale 0.