Calcule a integral
integralC x zraiz1+4 z^2 d s
onde a curva C é a interseç̧ão do cilindro y^2+z^2=1 e do plano x+2 y=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha:
integralC x zraiz1+4 z^2 , ds
onde a curva $ C $ é a interseção do cilindro $ y^{2} + z^{2} = 1 $ e do plano $ x + 2 y = 1 $.
Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente a parametrização de curvas e a integração de funções ao longo dessas curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva $ C $, que é a interseção do cilindro $ y^{2} + z^{2} = 1 $ com o plano $ x + 2 y = 1 $.
Sabemos que a equação $ y^{2} + z^{2} = 1 $ representa um cilindro circular com raio 1 ao longo do eixo $ x $. Podemos parametrizar $ y $ e $ z $ usando funções trigonométricas:
C
Onde $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $ para percorrer todo o círculo.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar $ x $ em termos de $ \theta $ usando a equação do plano $ x + 2 y = 1 $.
Substituindo $ y = \cos(\theta) $ na equação do plano:
x
Assim, temos a parametrização completa da curva $ C $:
theta

Passo 4

A próxima etapa é encontrar a expressão para $ ds $, que representa um elemento de comprimento ao longo da curva. Para isso, calculamos a derivada do vetor posição $ \mathbf{r}(\theta) $ em relação a $ \theta $:
ds
Então, o elemento de comprimento $ ds $ é:
r(theta)

Passo 5

Agora, vamos substituir todas as variáveis na integral original pela parametrização que encontramos:
integralC x zraiz1+4 z^2 , ds = integral0^2pi (1 - 2 cos(theta)) sin(theta)raiz1 + 4 sin^2(theta) cdot raiz5 sin^2(theta) + cos^2(theta) , dtheta

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da integral:
Primeiro, observamos que:
raiz5 sin^2(theta) + cos^2(theta) = raiz4 sin^2(theta) + (sin^2(theta) + cos^2(theta)) = raiz4 sin^2(theta) + 1
Então, a integral fica:
integral0^2pi (1 - 2 cos(theta)) sin(theta)raiz1 + 4 sin^2(theta) cdot raiz1 + 4 sin^2(theta) , dtheta = integral0^2pi (1 - 2 cos(theta)) sin(theta) , dtheta

Passo 7

Agora, a integral simplifica para:
integral0^2pi (1 - 2 cos(theta)) sin(theta) , dtheta
Vamos separar a integral:
integral0^2pi sin(theta) , dtheta - 2 integral0^2pi cos(theta) sin(theta) , dtheta

Passo 8

Calculando cada parte:
  1. $ \int_{0}^{2\pi} \sin(\theta) , d\theta = 0 $ (porque a integral de seno em um ciclo completo é zero).
  2. $ \int_{0}^{2\pi} \cos(\theta) \sin(\theta) , d\theta = 0 $ (pela mesma razão, pois é uma função ímpar sobre o intervalo simétrico).

Passo 9

Portanto, a integral total é:
0 - 2 cdot 0 = 0

Resposta

A integral vale 0.

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