Resolva o seguinte problema de valor inicial e condição de contorno, utilizando o método da separação de variáveis, onde
e
.
Passo 1
O enunciado define a equação de calor u_t = u_{xx} em 0<x<π, t>0, com condição inicial u(x,0)=e^{-|x|}, mas não especifica nenhuma condição de contorno em x=0 e x=π.
Passo 2
Para aplicar o método de separação de variáveis e obter uma série de Fourier em x, é estritamente necessário conhecer as condições de contorno (por exemplo, Dirichlet, Neumann ou periódicas) em x=0 e x=π.
Passo 3
Como não há informação sobre u(0,t) e u(π,t) para t>0, não há dados suficientes para determinar os autovalores e autovetores espaciais nem expandir a condição inicial na base adequada.
Passo 4
Sem as condições de contorno, não se pode montar o sistema de equações para os coeficientes da série e, portanto, não há como resolver o problema da forma pedida.
Resposta
Não é possível resolver o problema por separação de variáveis pois faltam as condições de contorno em x=0 e x=π.