Seja F o campo vetorial definida por
F=(y cos (x y)-e^y sen x, e^y cos x+x cos (x y))
Encontre uma função potencial f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos uma função potencial $ f $ para o campo vetorial $ F $. Isso faz parte do estudo de Cálculo Vetorial, onde funções potenciais são úteis para simplificar problemas de campos conservativos. Para resolver isso, vamos precisar integrar as componentes de $ F $ e garantir que elas derivem da mesma função $ f $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função potencial $ f(x, y) $ para o campo vetorial $ F = (P, Q) $ deve satisfazer:
f(x, y)
No nosso caso, temos:
F = (P, Q)
Vamos começar integrando $ P $ em relação a $ x $ para encontrar $ f(x, y) $.

Passo 3

Integrando $ P $ em relação a $ x $:
P
Vamos integrar termo a termo. Primeiro, a integral de $ y \cos(x y) $ em relação a $ x $:
x
Aqui, $ C(y) $ é uma função que depende só de $ y $.
Agora, a integral de $ -e^{y} \sin x $ em relação a $ x $:
f(x, y) = integral ( y cos(x y) - e^y sin x ) dx
Então, juntando tudo:
y cos(x y)

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda condição $ \frac{\partial f}{\partial y} = Q $ para encontrar $ C(y) $. Calculando a derivada de $ f(x, y) $ em relação a $ y $:
partial fpartial y = Q
Igualando a $ Q $:
C(y)
Perceba que os termos $ e^{y} \cos x $ e $ x \cos(x y) $ se cancelam, restando:
f(x, y)
Integrando:
y
Podemos considerar essa constante como zero, pois ela não afeta o gradiente.

Resposta

A função potencial $ f $ é:
f

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