Seja F o campo vetorial definida por
Encontre uma função potencial
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos uma função potencial $ f $ para o campo vetorial $ F $. Isso faz parte do estudo de Cálculo Vetorial, onde funções potenciais são úteis para simplificar problemas de campos conservativos. Para resolver isso, vamos precisar integrar as componentes de $ F $ e garantir que elas derivem da mesma função $ f $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função potencial $ f(x, y) $ para o campo vetorial $ F = (P, Q) $ deve satisfazer:
No nosso caso, temos:
Vamos começar integrando $ P $ em relação a $ x $ para encontrar $ f(x, y) $.
Passo 3
Integrando $ P $ em relação a $ x $:
Vamos integrar termo a termo. Primeiro, a integral de $ y \cos(x y) $ em relação a $ x $:
Aqui, $ C(y) $ é uma função que depende só de $ y $.
Agora, a integral de $ -e^{y} \sin x $ em relação a $ x $:
Então, juntando tudo:
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda condição $ \frac{\partial f}{\partial y} = Q $ para encontrar $ C(y) $. Calculando a derivada de $ f(x, y) $ em relação a $ y $:
Igualando a $ Q $:
Perceba que os termos $ e^{y} \cos x $ e $ x \cos(x y) $ se cancelam, restando:
Integrando:
Podemos considerar essa constante como zero, pois ela não afeta o gradiente.
Resposta
A função potencial $ f $ é: