Calcule a integral integralegral duplaD 5 x y d A, em que D é a região triangular com vértices (0,0), (0,4) e (2,4).

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla de 5xy sobre a região triangular D com vértices (0,0), (0,4) e (2,4). O conteúdo aqui é integral dupla em coordenadas cartesianas, e vamos precisar determinar os limites de integração que descrevem a região triangular.

Passo 2

Primeiro, descrevemos a região D. As arestas são dadas por: x=0 (entre y=0 e y=4), y=4 (entre x=0 e x=2), e a reta ligando (0,0) a (2,4). Essa reta tem equação y=2x, ou seja, x=tfrac y2.

Passo 3

Para montar a integral iterada, podemos tomar y variando de 0 até 4 e, para cada y, x varia de 0 até y/2. Assim,
integral duplaD 5xy,dA = integraly=0^4 integralx=0^y/2 5xy,dx,dy

Passo 4

Agora integramos em relação a x:
integralx=0^y/2 5xy,dx = 5y integral0^y/2 x,dx = 5y [x^22]0^y/2 = 5y cdot (y/2)^22 = 58y^3

Passo 5

Em seguida, integramos em relação a y:
integraly=0^4 58y^3,dy = 58 [y^44]0^4 = 58 cdot 4^44 = 58 cdot 64 = 40

Resposta

40

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