Dado o PVI:
Encontre uma aproximação para c y^prime=y x^2-y y(0)=1 usando o Método de Taylor de y(0,8) Ordem, com 2^a.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a solução do PVI usando o Método de Taylor de 2ª ordem com passo h=0,2. O conteúdo é métodos numéricos para PVI: vamos precisar da função f(x,y), das derivadas parciais fx e fy e da fórmula de Taylor de 2ª ordem.

Passo 2

No Método de Taylor de 2ª ordem usamos a expansão de Taylor até o termo quadrático: dada y'=f(x,y),
y(x+h)=y(x)+h,f(x,y)+h^22y''(x)+O(h^3)
e sabemos que
y''(x)=ddxf(x,y)=fx(x,y)+fy(x,y),f(x,y)

Passo 3

Aqui f(x,y)=y,x^2-y=y(x^2-1). Vamos achar as derivadas parciais:
fx=partialpartial x[y(x^2-1)]=2xy,
fy=partialpartial y[y(x^2-1)]=x^2-1

Passo 4

Logo,
y''=fx+fyf=2xy+(x^2-1)l(y(x^2-1)r)=2xy+y(x^2-1)^2

Passo 5

A fórmula iterativa fica:
yn+1=yn+h,f(xn,yn)+h^22l(fx(xn,yn)+fy(xn,yn)f(xn,yn)r)

Passo 6

Agora fazemos 4 iterações de x=0 até x=0,8 com h=0,2:
Para n=0, x0=0, y0=1:
f(0,1)=1(0^2-1)=-1,
fx+fyf=0+1cdot( -1)^2=1,
y1=1+0.2(-1)+0.02(1)=0.82

Passo 7

Para n=1, x1=0,2, y1=0.82:
f(0.2,0.82)=0.82(0.04-1)=-0.7872,
fx+fyf=2cdot0.2cdot0.82+0.82( -0.96)^2=1.083712,
y2=0.82+0.2(-0.7872)+0.02(1.083712)approx0.68423424

Passo 8

Para n=2, x2=0.4, y2approx0.68423424:
f(0.4,y2)=y2(0.16-1)=-0.57475876,
fx+fyf=2cdot0.4cdot y2+y2( -0.84)^2approx1.030189,
y3=0.68423424+0.2(-0.57475876)+0.02(1.030189)approx0.58988627

Passo 9

Para n=3, x3=0.6, y3approx0.58988627:
f(0.6,y3)=y3(0.36-1)=-0.3775272,
fx+fyf=2cdot0.6cdot y3+y3( -0.64)^2approx0.9494809,
y4=0.58988627+0.2(-0.3775272)+0.02(0.9494809)approx0.53337045

Resposta

y(0,8)approx0.53337

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