Calcule a integral
integral|z|=4(e^zz^3-sen z(z-pi)^3) d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno
integral|z|=4l(e^zz^3 - sin z(z-pi)^3r)dz
Este é um problema de integrais em contorno usando a fórmula de Cauchy para derivadas. Vamos precisar das derivadas de segunda ordem de e^z em z=0 e de sin z em z=pi.

Passo 2

Lembrando a fórmula de Cauchy para derivadas de ordem n:
12pi ioint|z-a|=Rf(z)(z-a)^n+1,dz = f^(n)(a)n!
No nosso caso, n+1=3 implica n=2, logo
ointf(z)(z-a)^3dz = 2pi if''(a)2!

Passo 3

Para o primeiro termo, tome f(z)=e^z e a=0. Então
f''(z)=e^z,
logo
f''(0)=e^0=1
e
oint|z|=4e^zz^3dz = 2pi i12! = pi i

Passo 4

Para o segundo termo, tome g(z)=sin z e a=pi. Temos
g'(z)=cos z,
g''(z)=-sin z,
então
g''(pi)=-sin(pi)=0
e
oint|z|=4sin z(z-pi)^3dz = 2pi i02! = 0

Passo 5

Somando as duas contribuições (lembrando o sinal menos do segundo termo) obtemos
pi i - 0 = pi i

Resposta

pi i

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