Prove que
arccos (x)=pi2-arcsen(x)

Passo 1

Beleza, a gente precisa provar que arccos(x)=tfracpi2-arcsen(x). Para isso, vamos recorrer às definições de função trigonométrica inversa e à identidade de ângulos complementares, que diz que cos(tfracpi2-theta)=sin(theta).

Passo 2

Vamos chamar theta = arcsen(x). Isso significa, por definição, que sin(theta)=x e theta varia no intervalo [ -tfracpi2,tfracpi2 ].

Passo 3

Agora, aplicando a identidade de complementaridade:
cosl(tfracpi2-thetar)=sin(theta)=x

Passo 4

Como theta está em [ -tfracpi2,tfracpi2 ], então tfracpi2-theta fica em [0,pi], que é justamente a imagem de arccos. Logo, tfracpi2-theta atende à definição de arccos(x), ou seja,
tfracpi2-theta = arccos(x)

Passo 5

Basta substituir theta=arcsen(x) na expressão acima para chegar em
arccos(x)=tfracpi2-arcsen(x)

Resposta

arccos(x)=tfracpi2-arcsen(x)

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