Encontre a aproximação linear das funções abaixo no ponto do seu domínio especificado:
f(x, y)=3 x+4 y+7, no ponto (1,2)

Passo 1

O problema pede a aproximação linear (ou plano tangente) da função f(x,y)=3x+4y+7 no ponto (1,2). O conteúdo envolve derivadas parciais e a fórmula de Taylor de primeira ordem para duas variáveis.

Passo 2

Precisamos calcular as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=3,
partial fpartial y=4

Passo 3

Avaliamo-las no ponto (1,2). Como são constantes, temos:
partial fpartial x(1,2)=3,
partial fpartial y(1,2)=4

Passo 4

Calculamos o valor de f no ponto dado:
f(1,2)=3cdot1+4cdot2+7=18

Passo 5

Agora usamos a fórmula da aproximação linear em torno de (a,b)=(1,2):
L(x,y)=f(a,b)+fx(a,b),(x-a)+fy(a,b),(y-b)

Passo 6

Substituindo os valores:
L(x,y)=18+3(x-1)+4(y-2)

Passo 7

Podemos expandir para notar que fica igual à própria função affine original:
L(x,y)=18+3x-3+4y-8=3x+4y+7

Resposta

A aproximação linear em (1,2) é
L(x,y)=18+3(x-1)+4(y-2),
que simplifica para
L(x,y)=3x+4y+7

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