Calcule a integral.
integralpi / 6^pi / 3 cossec^3 x d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral definida de csc^3x no intervalo de x=pi/6 até x=pi/3. O tema aqui é integrais de potências ímpares de funções trigonométricas (no caso, cosecante ao cubo), e vamos precisar usar integração por partes juntamente com a primitiva conhecida de csc x.

Passo 2

Para encontrar uma primitiva de csc^3x, separamos csc^3x = csc x,csc^2x e aplicamos integração por partes. Escolhemos
u = csc x, dv = csc^2x,dx
Então temos
du = -csc xcot x,dx, v = -cot x,
e pela fórmula integral u,dv = uv - integral v,du obtemos

Passo 3

Aplicando por partes:
integral csc^3x,dx = integral csc x,csc^2x,dx = u,v - integral v,du = (-csc xcot x) - integral(-cot x)(-csc xcot x),dx
Usando cot^2x=csc^2x-1, chega-se a
integral csc^3x,dx = -csc xcot x - integral csc^3x,dx + integral csc x,dx
Isolando a integral original, obtemos

Passo 4

2integral csc^3x,dx = -csc xcot x + integral csc x,dx
e como integral csc x,dx = -lnl|csc x + cot xr| + C, concluímos que a primitiva é
F(x) = -tfrac12csc xcot x - tfrac12lnl|csc x + cot xr| + C

Passo 5

Agora avaliamos F(x) nos limites.
Para x=pi/3:
sin(pi/3)=tfracraiz32,,cos(pi/3)=tfrac12 então
csc(pi/3)=tfrac2raiz3,,cot(pi/3)=tfrac1raiz3. Logo
csccot=tfrac23 e ln(csc+cot)=ln(raiz3)=tfrac12ln3.
Isso dá
F(pi/3) = -tfrac12l(tfrac23 + tfrac12ln3r) = -tfrac13 - tfrac14ln3

Passo 6

Para x=pi/6:
sin(pi/6)=tfrac12,,cos(pi/6)=tfracraiz32 então
csc(pi/6)=2,,cot(pi/6)=raiz3. Logo
csccot=2raiz3 e ln(csc+cot)=ln(2+raiz3).
Isso dá
F(pi/6) = -tfrac12l(2raiz3 + ln(2+raiz3)r) = -raiz3 - tfrac12ln(2+raiz3)

Passo 7

Subtraindo F(pi/3)-F(pi/6) temos
l(-tfrac13 - tfrac14ln3r) - l(-raiz3 - tfrac12ln(2+raiz3)r) = raiz3 - tfrac13 + tfrac12ln(2+raiz3) - tfrac14ln3

Resposta

raiz3 - tfrac13 + tfrac12lnl(2+raiz3r) - tfrac14ln3

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