O exercício pede para calcular a integral definida de no intervalo de até . O tema aqui é integrais de potências ímpares de funções trigonométricas (no caso, cosecante ao cubo), e vamos precisar usar integração por partes juntamente com a primitiva conhecida de .
Passo 2
Para encontrar uma primitiva de , separamos e aplicamos integração por partes. Escolhemos
Então temos
e pela fórmula obtemos
Passo 3
Aplicando por partes:
Usando , chega-se a
Isolando a integral original, obtemos
Passo 4
e como , concluímos que a primitiva é
F(x) = -tfrac12csc xcot x - tfrac12lnl|csc x + cot xr| + C
Passo 5
Agora avaliamos F(x) nos limites.
Para x=pi/3: sin(pi/3)=tfracraiz32,,cos(pi/3)=tfrac12 então csc(pi/3)=tfrac2raiz3,,cot(pi/3)=tfrac1raiz3. Logo csccot=tfrac23 e ln(csc+cot)=ln(raiz3)=tfrac12ln3.
Isso dá