Resolva a equação de Cauchy-Euler
Passo 1
Temos a equação de Cauchy-Euler
O conteúdo é equações diferenciais de Euler, e vamos usar a substituição padrão
para obter a chamada equação indicial.
Passo 2
Assumimos
. Então calculamos as derivadas:
Passo 3
Substituindo essas expressões na equação original, temos:
Isso simplifica para a equação indicial:
Passo 4
Escrevendo em forma polinomial, a indicial fica
o que é um quadrado perfeito, dando raiz dupla
.
Passo 5
Quando a equação indicial tem raiz dupla
, a solução geral da Cauchy-Euler é
Substituindo
, obtemos a forma final da solução.