Resolva a equação de Cauchy-Euler
x^2 y^prime prime+5 x y^prime+4 y=0

Passo 1

Temos a equação de Cauchy-Euler
x^2y'' + 5xy' + 4y = 0
O conteúdo é equações diferenciais de Euler, e vamos usar a substituição padrão y = x^m para obter a chamada equação indicial.

Passo 2

Assumimos y = x^m. Então calculamos as derivadas:
y' = m x^m-1,
y'' = m(m-1)x^m-2

Passo 3

Substituindo essas expressões na equação original, temos:
x^2igl(m(m-1)x^m-2r) + 5xigl(m x^m-1r) + 4x^m = 0 
Isso simplifica para a equação indicial:
m(m-1) + 5m + 4 = 0

Passo 4

Escrevendo em forma polinomial, a indicial fica
m^2 + 4m + 4 = 0,
o que é um quadrado perfeito, dando raiz dupla m = -2.

Passo 5

Quando a equação indicial tem raiz dupla m=-2, a solução geral da Cauchy-Euler é
y(x) = C1 x^m + C2 x^m , ln(x)
Substituindo m=-2, obtemos a forma final da solução.

Resposta

y(x) = C1 x^-2 + C2 x^-2 ln(x)

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