Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
z=xx^2+y^2

Passo 1

A questão pede o limite de uma função de duas variáveis dada por z=xx^2+y^2 quando (x,y)to(0,0). O conteúdo envolve limites de funções de várias variáveis e vamos precisar usar a ideia de estudo por trajetórias (caminhos) para verificar se o limite existe.

Passo 2

Para entender o comportamento junto a diferentes direções, é comum usar coordenadas polares. Definindo x = rcostheta e y = rsintheta, temos
z = xx^2+y^2 = rcosthetar^2 = costhetar
Vemos que, à medida que rto0, o valor de z depende de theta e tende a infinito sempre que costhetaneq0.

Passo 3

Escolhendo a trajetória ao longo do eixo x (isto é, theta=0), obtemos
z = cos0r = 1r to +infty (rto0)
Já escolhendo a trajetória ao longo do eixo y (isto é, theta=tfracpi2), temos
z = cos(tfracpi2)r = 0r = 0
Como ao aproximar de (0,0) por caminhos diferentes obtemos comportamentos distintos ( +infty e 0), o limite não pode existir de forma única.

Resposta

O limite não existe.

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