Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
A questão pede o limite de uma função de duas variáveis dada por
quando
. O conteúdo envolve limites de funções de várias variáveis e vamos precisar usar a ideia de estudo por trajetórias (caminhos) para verificar se o limite existe.
Passo 2
Para entender o comportamento junto a diferentes direções, é comum usar coordenadas polares. Definindo
e
, temos
Vemos que, à medida que
Passo 3
Escolhendo a trajetória ao longo do eixo
(isto é,
), obtemos
Já escolhendo a trajetória ao longo do eixo
Como ao aproximar de
por caminhos diferentes obtemos comportamentos distintos (
e 0), o limite não pode existir de forma única.
Resposta
O limite não existe.