Um peso atado a uma mola oscila para baixo e para cima com um movimento periódico. A equação do movimento é
onde
é a distensão da mola no instante
. Se
e
quando
, determine
como função de
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. Esse é um problema de equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes; vamos usar a equação característica para resolver.
Passo 2
Formamos a equação característica associada, que é
Ás raízes são imaginárias:
. Sempre que a característica dá
, a solução geral é
Aqui,
, logo
Passo 3
Agora aplicamos as condições iniciais para achar
e
. Primeiro,
Em seguida calculamos a derivada:
Em
temos
Passo 4
Substituindo
e
na solução geral, obtemos