Um peso atado a uma mola oscila para baixo e para cima com um movimento periódico. A equação do movimento é d^2 sd t^2+16 s=0 onde s é a distensão da mola no instante t. Se s=2 e d sd t=1 quando t=0, determine s como função de t.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial d^2sdt^2 + 16s = 0 com as condições iniciais s(0)=2 e s'(0)=1. Esse é um problema de equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes; vamos usar a equação característica para resolver.

Passo 2

Formamos a equação característica associada, que é
r^2 + 16 = 0
Ás raízes são imaginárias: r = pm 4i. Sempre que a característica dá alpha pm ibeta, a solução geral é
s(t) = C1cos(beta t) + C2sin(beta t)
Aqui, beta = 4, logo
s(t) = C1cos(4t) + C2sin(4t)

Passo 3

Agora aplicamos as condições iniciais para achar C1 e C2. Primeiro,
s(0) = C1cos(0) + C2sin(0) = C1 = 2
Em seguida calculamos a derivada:
s'(t) = -4C1sin(4t) + 4C2cos(4t)
Em t=0 temos
s'(0) = 4C2 = 1 Longrightarrow C2 = 14

Passo 4

Substituindo C1=2 e C2=tfrac14 na solução geral, obtemos
s(t) = 2cos(4t) + 14sin(4t)

Resposta

s(t) = 2cos(4t) + tfrac14sin(4t)

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