Mostre que se
é um polinômio de grau
então a equação diferencial
tem exatamente uma solução polinômial de grau
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a EDO
, onde
é um polinômio de grau
, aceita exatamente uma solução polinomial de grau
. O tema aqui é EDO linear de primeira ordem e usaremos fator integrante para resolver e depois impor que a solução seja polinomial.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação na forma padrão de uma EDO linear: dividindo por
(supondo
), fica:
Passo 3
O fator integrante é
Passo 4
Multiplicando a EDO padrão por
, o lado esquerdo vira derivada de produto:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Passo 6
Para que
seja um polinômio, não pode haver termo
(que não é polinomial). Logo
e sobra
Passo 7
Como
é grau
,
é grau
sem termo constante, e dividindo por
o grau cai para
. Assim há exatamente esta única solução polinomial de grau
.
Resposta
A única solução polinomial de grau
é
e não há outra, pois qualquer constante de integração não-polimonial violaria a condição de ser polinomial.