Mostre que se p(x) é um polinômio de grau n então a equação diferencial x y^prime+y=p(x) tem exatamente uma solução polinômial de grau n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a EDO x y'+y=p(x), onde p(x) é um polinômio de grau n, aceita exatamente uma solução polinomial de grau n. O tema aqui é EDO linear de primeira ordem e usaremos fator integrante para resolver e depois impor que a solução seja polinomial.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação na forma padrão de uma EDO linear: dividindo por x (supondo xneq0), fica:
y' + 1x,y = p(x)x

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = e^integral 1x,dx = e^ln|x| = x

Passo 4

Multiplicando a EDO padrão por mu(x)=x, o lado esquerdo vira derivada de produto:
x,y' + y = ddx(x y), portanto a equação se torna
ddx(x y) = p(x)

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x y = integral p(x),dx + C Logo a solução geral é
y(x) = 1xintegral p(x),dx + Cx

Passo 6

Para que y(x) seja um polinômio, não pode haver termo C/x (que não é polinomial). Logo C=0 e sobra
y(x)=1xintegral p(x),dx

Passo 7

Como p(x) é grau n, integral p(x),dx é grau n+1 sem termo constante, e dividindo por x o grau cai para n. Assim há exatamente esta única solução polinomial de grau n.

Resposta

A única solução polinomial de grau n é
y(x)=1xintegral p(x),dx
e não há outra, pois qualquer constante de integração não-polimonial violaria a condição de ser polinomial.

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