Calcule a integral
Passo 1
Estamos calculando a integral de contorno
. O conteúdo aqui é análise complexa, em particular integrais em contornos fechados. Para resolver, vamos simplificar o integrando e usar propriedades de integrais de potências de
(ou o teorema de Cauchy).
Passo 2
Primeiro, observe que o integrando pode ser decomposto em termos mais simples. Temos
Com isso, a integral se separa em duas partes:
$$\int_{|z|=1}\frac{z^2-1}{z},dz
=\int_{|z|=1}z,dz-\int_{|z|=1}\frac{1}{z},dz$$
Passo 3
Agora calculamos cada parte. Para
, podemos usar que a função
é inteira (analítica em todo lugar), logo sua integral em contorno fechado é zero pela forma integral de Cauchy. Alternativamente, parametrize
,
, e veja que o resultado se anula.
Para , este é o caso clássico de
, pois há um polo de ordem 1 em
dentro do contorno.
Para
Passo 4
Juntando tudo,
Portanto,
Resposta
-2\pi i