Calcule a integral
integralz=|1| z^2-1z d z

Passo 1

Estamos calculando a integral de contorno integral|z|=1z^2-1z,dz. O conteúdo aqui é análise complexa, em particular integrais em contornos fechados. Para resolver, vamos simplificar o integrando e usar propriedades de integrais de potências de z (ou o teorema de Cauchy).

Passo 2

Primeiro, observe que o integrando pode ser decomposto em termos mais simples. Temos
z^2-1z=z^2z-1z=z-1z
Com isso, a integral se separa em duas partes:
$$\int_{|z|=1}\frac{z^2-1}{z},dz
=\int_{|z|=1}z,dz-\int_{|z|=1}\frac{1}{z},dz$$

Passo 3

Agora calculamos cada parte. Para integral|z|=1z,dz, podemos usar que a função z é inteira (analítica em todo lugar), logo sua integral em contorno fechado é zero pela forma integral de Cauchy. Alternativamente, parametrize z=e^it, dz=i e^itdt, e veja que o resultado se anula.
Para integral|z|=11z,dz, este é o caso clássico de integral|z|=1z^-1dz=2pi i, pois há um polo de ordem 1 em z=0 dentro do contorno.

Passo 4

Juntando tudo,
integral|z|=1z,dz=0 e integral|z|=11z,dz=2pi i
Portanto,
integral|z|=1z^2-1z,dz=0-2pi i=-2pi i

Resposta

-2\pi i

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