Calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral de uma função complexa ao longo de um contorno definido por $ |z| = 1 $. O conteúdo aqui é de Análise Complexa, especificamente integrais de contorno. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções racionais, pólos e o Teorema de Cauchy.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que estamos integrando:
Aqui, $ f(z) $ é uma função racional porque é o quociente de dois polinômios.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pólos da função $ f(z) $. Pólos são pontos onde a função não é analítica, ou seja, onde ela “explode”. No nosso caso, o denominador $ z - 2 $ se anula quando $ z = 2 $. Então, a função tem um pólo simples em $ z = 2 $.
Passo 4
O próximo passo é verificar se esse pólo está dentro ou fora do contorno $ |z| = 1 $. Calculando a magnitude de $ z = 2 $:
Como $ 2 > 1 $, o pólo está fora do contorno dado.
Passo 5
De acordo com o Teorema de Cauchy, se uma função é analítica em toda a região interna e sobre o contorno, então a integral ao longo desse contorno é zero. Como o único pólo da nossa função está fora do contorno, a função é analítica dentro de $ |z| = 1 $.
Passo 6
Portanto, aplicando o Teorema de Cauchy:
Resposta
A integral vale 0.