Use o Método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral das EDOs
y^prime prime+2 y^prime=2 t+5-e^-2 t

Passo 1

A questão pede pra resolver a EDO não homogênea
“y’’ + 2y’ = 2t + 5 − e^{−2t}”
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos precisar achar primeiro a solução geral da homogênea e depois um particular para a parte polinomial (2t + 5) e outro para a parte exponencial (−e^{−2t}).

Passo 2

A parte homogênea vem de resolver
y'' + 2y' = 0
A equação característica é
r^2 + 2r = r(r + 2) = 0,
com raízes r=0 e r=-2. Logo a solução homogênea é
yh(t) = C1 + C2 e^-2t

Passo 3

Para o termo polinomial 2t + 5 fazemos o ansatz
yp1(t) = A t^2 + B t
Então
y'p1 = 2A t + B,
y''p1 = 2A
Aplicando no LHS:
y''p1 + 2y'p1 = 2A + 2(2A t + B) = 4A t + (2A + 2B)
Igualando a 2t + 5:
4A = 2 implies A = tfrac12,
2A + 2B = 5 implies 1 + 2B = 5 implies B = 2

Passo 4

Para o termo exponencial −e^-2t fazemos o ansatz
yp2(t) = K t e^-2t
Calculamos:
y'p2 = K e^-2t - 2K t e^-2t,
y''p2 = -2K e^-2t + 4K t e^-2t - 2K e^-2t = 4K t e^-2t - 4K e^-2t
Logo
y''p2 + 2y'p2 = (4K t e^-2t - 4K e^-2t) + 2(K e^-2t - 2K t e^-2t) = -2K e^-2t
Igualando a -e^-2t:
-2K = -1 implies K = tfrac12

Passo 5

A solução particular total é
yp(t) = yp1(t) + yp2(t) = tfrac12 t^2 + 2t + tfrac12 t e^-2t
Somando com a homogênea, a solução geral fica

Resposta

y(t) = C1 + C2 e^-2t + tfrac12 t^2 + 2t + tfrac12 t e^-2t

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