Considere a equação diferencial
a y^prime prime+b y^prime+c y=g(t)
onde a, b e c são constantes positivas. Se Y1 e Y2 são soluções desta equação, mostre que
lim t +infty(Y1(t)-Y2(t))=0

Passo 1

Resumo: queremos provar que se Y1 e Y2 são soluções da equação diferencial
a,y''+b,y'+c,y=g(t),
então limtto+infty[Y1(t)-Y2(t)]=0. O conteúdo envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, princípio da superposição e análise do comportamento assintótico da parte homogênea.

Passo 2

Defina
z(t)=Y1(t)-Y2(t)
Como a equação é linear, ao substituir Y1 e Y2 e fazer a subtração, obtemos
a,z''+b,z'+c,z=0
Isso elimina o termo não homogêneo g(t) e nos leva à equação homogênea.

Passo 3

Para resolver a homogênea, escrevemos a equação característica
alambda^2+blambda+c=0
Como a>0, b>0 e c>0, as raízes lambda1,2 têm parte real negativa. Se b^2-4ac>=0, as raízes são reais e negativas; se b^2-4ac<0, as raízes são complexas com parte real -b/(2a)<0.

Passo 4

A solução geral da homogênea é
z(t)=C1e^lambda1t+C2e^lambda2t,
com Re(lambda1,2)<0. Portanto
limtto+inftyz(t)=0, \nou seja
limtto+infty[Y1(t)-Y2(t)]=0

Resposta

limtto+infty(Y1(t)-Y2(t))=0.

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