Considere a equação diferencial
onde
e
são constantes positivas. Se
e
são soluções desta equação, mostre que
Passo 1
Resumo: queremos provar que se
e
são soluções da equação diferencial
então
. O conteúdo envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, princípio da superposição e análise do comportamento assintótico da parte homogênea.
Passo 2
Defina
Como a equação é linear, ao substituir
e
e fazer a subtração, obtemos
Isso elimina o termo não homogêneo
e nos leva à equação homogênea.
Passo 3
Para resolver a homogênea, escrevemos a equação característica
Como
,
e
, as raízes
têm parte real negativa. Se
, as raízes são reais e negativas; se
, as raízes são complexas com parte real
.
Passo 4
A solução geral da homogênea é
com
. Portanto