Calcule as seguintes integrais
integral x^2 raiz4-x^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral integral x^2 raiz4 - x^3 , dx. O conteúdo que vamos usar aqui é o método de substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher uma substituição que torne a integral mais simples. Olhando para dentro da raiz quadrada, vemos 4 - x^3. Vamos definir u = 4 - x^3. Isso vai ajudar a simplificar a expressão dentro da integral.

Passo 3

Agora, vamos derivar u em relação a x para encontrar du.
du = ddx(4 - x^3) , dx = -3x^2 , dx
Isso significa que podemos escrever x^2 , dx como -13 du.

Passo 4

Vamos substituir u e du na integral original:
integral x^2 raiz4 - x^3 , dx = integral x^2 raizu , dx = integral (-13) raizu , du = -13 integral u^12 , du
Agora, a integral está em termos de u, o que é mais fácil de resolver.

Passo 5

Vamos integrar u^12:
-13 integral u^12 , du = -13 ( 23 u^32 ) + C = -29 u^32 + C
Aqui, C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, vamos substituir u de volta em termos de x:
-29 u^32 + C = -29 (4 - x^3)^32 + C
Assim, obtivemos a expressão final da integral.

Resposta

A integral vale:
-dfrac29(4 - x^3)^32 + C

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