Calcule a integral invertendo antes a ordem de integração.
integral0^4 integralraizy^2 e^x^3 d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^4integralraizy^2e^x^3,dx,dy
invertendo primeiro a ordem de integração.
Conteúdo: integração em coordenadas cartesianas, troca de ordem de integração e uso de substituição para primitiva de x^2e^x^3.

Passo 2

Identificamos a região R no plano (x,y) dada por
0 <= y <= 4, raizy <= x <= 2
A condição raizy<= x equivale a y<= x^2. Como x nunca passa de 2, temos
0 <= x <= 2, 0 <= y <= x^2

Passo 3

Invertendo a ordem de integração sobre R, a integral fica
integralx=0^2integraly=0^x^2e^x^3,dy,dx

Passo 4

Integramos primeiro em y, tratando e^x^3 como constante:
integral0^2l[e^x^3,yr]y=0^y=x^2dx =integral0^2x^2e^x^3,dx

Passo 5

Para calcular integral0^2x^2e^x^3,dx, fazemos u=x^3, de modo que du=3x^2dx e x^2dx=tfracdu3. Os limites são u(0)=0 e u(2)=8. Logo,
integral0^2x^2e^x^3,dx =13integral0^8e^u,du =13l[e^ur]0^8 =e^8-13

Resposta

e^8-13

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