Expresse a integral como uma integral equivalente com a ordem de integração invertida.
integral0^2 integral1^e^y f(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado nos dá a integral iterada
integral0^2integral1^e^yf(x,y),dx,dy
e pede para inverter a ordem de integração. O conteúdo é a aplicação do Teorema de Fubini e a descrição geométrica da região de integração no plano (x,y).

Passo 2

Vamos entender a região de integração D definida por
0 <= y <= 2, 1 <= x <= e^y
Isto significa que D=(x,y)mid 0<= y<=2 e 1<= x<= e^y.

Passo 3

Para inverter a ordem, projetamos D no eixo x. Como em D vale 1<= x<= e^y e y<=2, o valor máximo de x ocorre em y=2, dando x<= e^2. Como o menor x é 1 (quando y>=0), a projeção no eixo x é
1 <= x <= e^2

Passo 4

Para um x fixo em [1,e^2], as condições em y vêm de
0 <= y <= 2 e x <= e^y
A desigualdade x<= e^y equivale a y >= ln(x). Como também queremos y<=2, obtemos
ln(x)<= y<= 2

Passo 5

Portanto, trocando a ordem de integração, integramos primeiro em y de ln(x) até 2, e depois em x de 1 até e^2. Ficamos com a integral equivalente
integral1^e^2integralln(x)^2f(x,y),dy,dx

Resposta

integral1^e^2integralln(x)^2f(x,y),dy,dx

Exercícios relacionados