Calcule a integral invertendo antes a ordem de integração.
integral0^1 integral4 x^4 e^-y^2 d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^1integral4x^4 e^-y^2;dy;dx
invertendo antes a ordem de integração. Aqui o conteúdo é integração dupla e aplicação do teorema de Fubini, ou seja, descrever a região de integração em termos de y primeiro e x depois.

Passo 2

Descrevemos a região D no plano (x,y):
D = (x,y)mid 0 <= x <= 1,;4x <= y <= 4
Para inverter a ordem, fixamos y. Como o menor valor de y ocorre em x=0 (isto é, 4cdot0=0) e o maior é 4, temos
0 <= y <= 4
Além disso, da condição 4x <= y segue
x <= y4,
e sempre x>=0. Logo, ao inverter, obtemos
0 <= y <= 4, 0 <= x <= y4

Passo 3

Reescrevemos a integral trocando a ordem de integração:
integral0^1integral4x^4 e^-y^2;dy;dx =integral0^4integral0^y/4 e^-y^2;dx;dy

Passo 4

Como e^-y^2 é constante em relação a x,
integral0^y/4 e^-y^2;dx = e^-y^2!!integral0^y/4!dx = e^-y^2cdoty4
e a integral passa a ser
integral0^4y4,e^-y^2;dy

Passo 5

Para calcular
integral0^4y4,e^-y^2;dy,
fazemos a substituição
t = y^2, dt = 2y,dy,
então
integral0^4y4,e^-y^2,dy =14integral0^4y,e^-y^2,dy =18integral0^16e^-t,dt =18l[1 - e^-16r]

Resposta

1 - e^-168

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