Calcule a integral invertendo antes a ordem de integração.
\int_{1}^{3} \int_{0}^{\ln x} x d y d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla
integral1^3integral0^ln xx,dy,dx
e pede para calculá-la invertendo a ordem de integração. O conteúdo aqui é integrais duplas em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Descrevemos a região de integração
R=(x,y)mid 1<= x<=3,;0<= y<=ln x
Como y varia de 0 até ln x, o valor máximo de y é ln3. Para um y fixo, a condição y<=ln x equivale a x>= e^y, com teto em x=3. Assim a integral invertida fica
integraly=0^ln3integralx=e^y^3x,dx,dy

Passo 3

Calculamos primeiro a integral interna em x:
integrale^y^3x,dx =l[tfracx^22r]e^y^3 =92-e^2y2

Passo 4

Agora integramos em y:
integral0^ln3l(92-e^2y2r),dy =l[9y2-e^2y4r]0^ln3 =9ln32-94+14 =9ln32-2

Resposta

9ln32-2

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