Encontre a solução geral das equações a seguir, na forma y(x)=a0 y1(x)+a1 y2(x) sendo y1 e y2 duas séries de potências L.I. centradas em zero. Calcule o raio de convergência:
y^prime prime-2 x y^prime+y=0,

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por séries de potências em torno de x=0, a equação diferencial
y''-2x,y'+y=0,
ou seja, encontrar a solução geral na forma
y(x)=a0,y1(x)+a1,y2(x),
onde y1 e y2 são duas séries de potências linearmente independentes. Também devemos calcular o raio de convergência de cada série.

Passo 2

Vamos supor solução do tipo
y(x)=sumn=0^inftyan,x^n
Então
y'(x)=sumn=1^inftyn,an,x^n-1, y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1),an,x^n-2
Substituindo em y''-2x,y'+y=0 obtemos
sumn=2^inftyn(n-1)anx^n-2 -2xsumn=1^inftyn,anx^n-1 +sumn=0^inftyanx^n =0

Passo 3

Alinhando as potências de x, fazemos nas três somas o índice m=n-2, m=n e m=n:
summ=0^infty(m+2)(m+1)am+2x^m -2summ=1^inftym,amx^m +summ=0^inftyamx^m =0
O termo x^0
2cdot1,a2+a0=0 Longrightarrow a2=-a02,
e para m>=1
(m+2)(m+1)am+2-2m,am+am=0 ;Longrightarrow; am+2=2m-1(m+2)(m+1),am

Passo 4

Da relação de recorrência vemos que os coeficientes de índice par e de índice ímpar decaem separadamente. Logo existem duas soluções independentes:
1. Escolhemos a0=1, a1=0, gerando
y1(x)=sumk=0^inftya2k,x^2k, a2k+2=4k-1(2k+2)(2k+1),a2k
2. Escolhemos a0=0, a1=1, gerando
y2(x)=sumk=0^inftya2k+1,x^2k+1, a2k+3=4k+1(2k+3)(2k+2),a2k+1

Passo 5

A solução geral fica
y(x)=a0,y1(x)+a1,y2(x),
com y1 e y2 dados pelas séries acima. Para o raio de convergência, note que
am+2x^m+2amx^m =2m-1(m+2)(m+1),x^2 ;longrightarrow;0 forall xinR,
de modo que as duas séries convergem para todo x.

Resposta

A solução geral é
y(x)=a0sumk=0^inftya2k,x^2k ;+; a1sumk=0^inftya2k+1,x^2k+1,
com as recorrências
a2k+2=4k-1(2k+2)(2k+1),a2k, a2k+3=4k+1(2k+3)(2k+2),a2k+1,
e o raio de convergência de ambas as séries é R=infty.

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