Encontre a solução geral das equações a seguir, na forma
sendo
e
duas séries de potências L.I. centradas em zero. Calcule o raio de convergência:
,
Passo 1
O enunciado pede para resolver, por séries de potências em torno de
, a equação diferencial
ou seja, encontrar a solução geral na forma
onde
e
são duas séries de potências linearmente independentes. Também devemos calcular o raio de convergência de cada série.
Passo 2
Vamos supor solução do tipo
Então
Substituindo em
obtemos
Passo 3
Alinhando as potências de
, fazemos nas três somas o índice
,
e
:
O termo
dá
e para
Passo 4
Da relação de recorrência vemos que os coeficientes de índice par e de índice ímpar decaem separadamente. Logo existem duas soluções independentes:
1. Escolhemos ,
, gerando
1. Escolhemos
2. Escolhemos
,
, gerando
Passo 5
A solução geral fica
com
e
dados pelas séries acima. Para o raio de convergência, note que
de modo que as duas séries convergem para todo
.
Resposta
A solução geral é
com as recorrências
e o raio de convergência de ambas as séries é
.