(a) Considere e as condições iniciais e . Ache a solução desse problema de valor inicial pelo método de séries de potências.
(b) Determine o raio de convergência.
(c) Comprove que a função obtida realmente é solução substituindo na equação e na condição inicial.
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação de Legendre
para com as condições iniciais
usando séries de potências em torno de . Precisamos assumir
achar a recorrência para , aplicar as condições iniciais, determinar o raio de convergência e por fim checar que a série satisfaz a equação e as condições.
Passo 2
Derivando a série temos
Substituindo em
e reorganizando as potências de gera a condição para cada coeficiente de :
Logo a recorrência é
Passo 3
Das condições iniciais temos
Como , todos os termos de índice par se anulam por recorrência. Mantém-se apenas a cadeia ímpar com livre. Usando
para obtemos
e assim por diante.
Passo 4
Portanto a solução em série fica
Passo 5
Para encontrar o raio de convergência basta observar a recorrência
Pelo teste da razão, o raio de convergência é R=1.
Passo 6
A própria derivação da recorrência viria de impor que a série satisfaça a equação de Legendre, então já validamos que a série é solução. Quanto às condições iniciais, temos