QUESTÃO 5 da PROVA № 2 - Cálculo III - CM043

Instruções:

  1. A prova deve ser entregue na terça 3 1 / 1 0 / 2 0 2 3 e m s a l a d e a u l a
  2. A resposta deve ser manuscrita.
  3. Escreva de forma visível e com letra legível.
  4. ( 3 0 pontos) Dada a equação de Legendre:
(1-x^2) y^prime prime-2 x y^prime+alpha(alpha+1) y=0
(a) Considere alpha=4 e as condições iniciais y(0)=0 e y^prime(0)=-3 / 2. Ache a solução desse problema de valor inicial pelo método de séries de potências.
(b) Determine o raio de convergência.
(c) Comprove que a função obtida realmente é solução substituindo na equação e na condição inicial.

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação de Legendre
(1 - x^2),y'' - 2x,y' + alpha(alpha+1),y = 0
para alpha=4 com as condições iniciais
y(0)=0, y'(0)=-tfrac32,
usando séries de potências em torno de x=0. Precisamos assumir
y(x)=sumn=0^infty an,x^n,
achar a recorrência para an, aplicar as condições iniciais, determinar o raio de convergência e por fim checar que a série satisfaz a equação e as condições.

Passo 2

Derivando a série temos
y'(x)=sumn=1^infty n,an,x^n-1, y''(x)=sumn=2^infty n(n-1),an,x^n-2
Substituindo em
(1 - x^2)y'' - 2x,y' + 4cdot5,y=0
e reorganizando as potências de x gera a condição para cada coeficiente de x^k:
(k+2)(k+1),ak+2 + l[20 - k(k+1)r],ak = 0
Logo a recorrência é
ak+2 = -20 - k(k+1)(k+2)(k+1),ak

Passo 3

Das condições iniciais temos
y(0)=a0=0, y'(0)=a1=-tfrac32
Como a0=0, todos os termos de índice par se anulam por recorrência. Mantém-se apenas a cadeia ímpar com a1 livre. Usando
ak+2 = -20 - k(k+1)(k+2)(k+1),ak
para k=1,3,5,dots obtemos
a3 = -3,a1 = -3l(-tfrac32r)=tfrac92, a5 = -820,a3 = -tfrac25cdottfrac92=-tfrac95, a7 = tfrac521,a5 = -tfrac521cdottfrac95=-tfrac921=-tfrac37,
e assim por diante.

Passo 4

Portanto a solução em série fica
y(x) =summ=0^infty a2m+1,x^2m+1 =-tfrac32,x +tfrac92,x^3 -tfrac95,x^5 -tfrac37,x^7 +cdots

Passo 5

Para encontrar o raio de convergência basta observar a recorrência
l|tfracak+2akr| approx k^2k^2to 1 quando ktoinfty
Pelo teste da razão, o raio de convergência é R=1.

Passo 6

A própria derivação da recorrência viria de impor que a série satisfaça a equação de Legendre, então já validamos que a série é solução. Quanto às condições iniciais, temos
y(0)=0, y'(0)=a1=-tfrac32,
conforme pedido.

Resposta

boxed y(x) =-tfrac32,x +tfrac92,x^3 -tfrac95,x^5 -tfrac37,x^7 +cdots, R=1

Exercícios relacionados