Calcule a integral invertendo antes a ordem de integração.
\int_{0}^{4} \int_{\sqrt{y}}^{2} e{x{3}} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^4!integralraizy^2 e^x^3,dx,dy
invertendo antes a ordem de integração. Aqui trabalhamos com integrais iteradas e troca de ordem de integração numa região do plano.

Passo 2

Precisamos descrever a região
D = (x,y)mid 0<= y<= 4, raizy<= x<= 2
em termos de x primeiro e y depois. A condição raizy<= x equivale a y<= x^2. Como x varia até 2 (pois raizy<= 2 e y<=4), temos
0<= x<= 2, 0<= y<= x^2
Logo a integral fica
integral0^2!integral0^x^2 e^x^3,dy,dx

Passo 3

Como e^x^3 não depende de y, a integral interna em y é simples:
integral0^x^2 e^x^3,dy = e^x^3,l[yr]0^x^2 = x^2,e^x^3
Assim a integral reduz-se a
integral0^2 x^2,e^x^3,dx

Passo 4

Para calcular
integral0^2 x^2,e^x^3,dx
faço a substituição u = x^3, de modo que du = 3x^2,dx ou x^2,dx = tfracdu3. Quando x=0, u=0; quando x=2, u=8. A integral vira
integral0^2 x^2,e^x^3,dx = integral0^8 e^u,du3 = 13integral0^8 e^u,du = 13l[e^ur]0^8 = e^8-13

Resposta

e^8-13

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