Considere a e.d.o. y^prime prime(x)-x y(x)=0,
(a) Seja y(x)=sumn=0^infty an x^n a solução em série de potências na vizinhança do ponto ordinário x0=0. Determine a relação de recorrência para os coeficientes da série.
(b) Considere na e.d.o as condições iniciais y(0)=a0=1 e y^prime(0)=a1=0, calcule os primeiros 6 corficientes da série solução y(x).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''(x)-x,y(x)=0
por séries de potências em torno de x0=0. Ou seja, buscamos
y(x)=sumn=0^inftyanx^n
e queremos (a) achar a relação de recorrência entre os an e (b) usando y(0)=a0=1, y'(0)=a1=0 calcular os primeiros seis coeficientes a0,a1,a2,a3,a4,a5.

Passo 2

Substituímos a série em cada termo da EDO. Primeiro
y(x)=sumn=0^inftyanx^n,
y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1)anx^n-2 =sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n,
x,y(x)=sumn=0^inftyanx^n+1 =sumn=1^inftyan-1x^n
A equação y''-x,y=0 vira
sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n -sumn=1^inftyan-1x^n=0
Para igualar as potências, no termo de x^0 (quando n=0) obtemos
2cdot1,a2=0 Longrightarrow a2=0
Para n>=1 os coeficientes de x^n dão
(n+2)(n+1)an+2-an-1=0 Longrightarrow an+2=an-1(n+2)(n+1)

Passo 3

Agora aplicamos as condições iniciais e calculamos em ordem crescente:
,a0=1, ,a1=0. Já vimos a2=0.
Para n=1 vem
a3=a03cdot2=16
Para n=2 vem
a4=a14cdot3=0
Para n=3 vem
a5=a25cdot4=0
Podemos também anotar a6 (para quem quiser mais além): com n=4,
a6=a36cdot5=tfrac1630=1180

Passo 4

Reunindo os primeiros seis coeficientes l(a0,a1,dots,a5r):
a0=1, a1=0, a2=0, a3=tfrac16, a4=0, a5=0

Resposta

a0=1
a1=0
a2=0
a3=tfrac16
a4=0
a5=0

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