Considere a e.d.o.
,
(a) Seja
a solução em série de potências na vizinhança do ponto ordinário
. Determine a relação de recorrência para os coeficientes da série.
(b) Considere na e.d.o as condições iniciais
e
, calcule os primeiros 6 corficientes da série solução
.
(a) Seja
(b) Considere na e.d.o as condições iniciais
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
por séries de potências em torno de
. Ou seja, buscamos
e queremos (a) achar a relação de recorrência entre os
e (b) usando
,
calcular os primeiros seis coeficientes
.
Passo 2
Substituímos a série em cada termo da EDO. Primeiro
A equação
vira
Para igualar as potências, no termo de
(quando
) obtemos
Para
os coeficientes de
dão
Passo 3
Agora aplicamos as condições iniciais e calculamos em ordem crescente:
,
. Já vimos
.
Para vem
Para
Para
vem
Para
vem
Podemos também anotar
(para quem quiser mais além): com
,
Passo 4
Reunindo os primeiros seis coeficientes
: