Uma caixa com uma base quadrada e sem tampa tem um volume de . Encontre ad dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material usado.
Passo 1
O enunciado descreve uma caixa aberta de base quadrada cujas dimensões são: lado da base e altura . O volume é fixo em c. Queremos minimizar a quantidade de material, isto é, a área total da caixa sem tampa.
Passo 2
A área de material é a soma da área da base e das quatro faces laterais. Logo, a função objetivo é
Como o volume é V= x^2 h = 32, vamos usar essa restrição para eliminar h.
Passo 3
Da restrição de volume, isolamos
h = 32x^2
Substituindo em S, obtemos uma função de uma única variável:
S(x) = x^2 + 4x cdot 32x^2 = x^2 + 128x
Passo 4
Para minimizar S(x), calculamos a derivada e igualamos a zero:
S'(x) = 2x - 128x^2
Impondo S'(x)=0,
2x = 128x^2 Longrightarrow 2x^3 = 128 Longrightarrow x^3 = 64 Longrightarrow x = 4 cm