Uma caixa com uma base quadrada e sem tampa tem um volume de 32 cm^3. Encontre ad dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material usado.

Passo 1

O enunciado descreve uma caixa aberta de base quadrada cujas dimensões são: lado da base x e altura h. O volume é fixo em 32 c m^3. Queremos minimizar a quantidade de material, isto é, a área total da caixa sem tampa.

Passo 2

A área de material é a soma da área da base e das quatro faces laterais. Logo, a função objetivo é
S(x,h) = underbracex^2base + underbrace4x,hlados
Como o volume é V= x^2 h = 32, vamos usar essa restrição para eliminar h.

Passo 3

Da restrição de volume, isolamos
h = 32x^2
Substituindo em S, obtemos uma função de uma única variável:
S(x) = x^2 + 4x cdot 32x^2 = x^2 + 128x

Passo 4

Para minimizar S(x), calculamos a derivada e igualamos a zero:
S'(x) = 2x - 128x^2
Impondo S'(x)=0,
2x = 128x^2 Longrightarrow 2x^3 = 128 Longrightarrow x^3 = 64 Longrightarrow x = 4 cm
Verificando o sinal da segunda derivada,
S''(x) = 2 + 256x^3 Longrightarrow S''(4) = 2 + 25664 = 6 > 0,
logo é mínimo.

Passo 5

Finalmente, calculamos a altura:
h = 32x^2 = 324^2 = 2 cm

Resposta

As dimensões que minimizam o material são:
lado da base x = 4 cm
altura h = 2 cm

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