Sabendo que LD significa “linearmente dependente” e LI significa " linearmente independente", escolha a palavra FALSA ou a palavra VERDADEIRA para classificar corretamente a sentença apresentada em cada item.
Considere v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n} vetores de um espaço vetorial V. Se v_{1} é o vetor nulo e o conjunto \{v_{2}, \ldots, v_{n}\} é LI, então o conjunto finito \{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\} é também LI .

Passo 1

O enunciado fala de vetores v_{1},v_{2},\ldots,v_{n} em um espaço vetorial V. Ele diz que v_{1}=\mathbf{0} (o vetor nulo) e que o conjunto \{v_{2},\ldots,v_{n}\} é linearmente independente (LI). A afirmação a verificar é se, sob essas hipóteses, o conjunto \{v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\} também é LI. O tópico envolvido é a definição de independência e dependência linear de conjuntos de vetores.

Passo 2

Lembramos que um conjunto de vetores \{w_{1},\ldots,w_{k}\} é linearmente independente se, na combinação linear
\alpha_{1}w_{1}+\alpha_{2}w_{2}+\cdots+\alpha_{k}w_{k} = \mathbf{0},
a única solução para os escalares \alpha_{1},\ldots,\alpha_{k} é a trivial \alpha_{1}=\alpha_{2}=\cdots=\alpha_{k}=0. Caso exista solução com algum \alpha_{i}\neq0, dizemos que o conjunto é linearmente dependente (LD).

Passo 3

No nosso caso, v_{1}=\mathbf{0}. Considere a combinação linear em \{v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\}:
1\cdot v_{1} + 0\cdot v_{2} + \cdots + 0\cdot v_{n} = 1\cdot\mathbf{0} + \mathbf{0} = \mathbf{0}.
Aqui temos uma solução não trivial \alpha_{1}=1\neq0 e \alpha_{2}=\cdots=\alpha_{n}=0 que produz o vetor nulo. Pelo critério, isso já basta para concluir que o conjunto é LD.

Passo 4

Como qualquer conjunto que contém o vetor nulo é automaticamente linearmente dependente, a afirmação de que \{v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\} seria LI é falsa.

Resposta

FALSA

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